Отрезок и квадрат.

С тем, что на бесконечной прямой столько же точек, сколько и на отрезке, математики, скрепя сердце, примирились. Но следующий результат Кантора оказался еще более неожиданным. В поисках множества, имеющего больше элементов, чем отрезок, он обратился к множеству точек квадрата. Сомнения в результате не было: ведь отрезок целиком размещается на одной стороне квадрата, а множество всех отрезков, на которые можно разложить квадрат, само имеет ту же мощность, что и множество точек отрезка.

На протяжении трех лет (с 1871 по 1874 г.) Кантор искал доказательство того, что взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и точками квадрата невозможно.

Шли годы, а желанный результат не получался. И вдруг совершенно неожиданно ему удалось построить соответствие, которое он считал невозможным! Сначала он сам не поверил себе. Своему другу и единомышленнику Дедекинду он писал: "Я вижу это, но не верю".

Но все же пришлось смириться с тем, что интуиция подвела и здесь — в квадрате оказалось ровно столько же точек, сколько и на отрезке. Строгое доказательство этого утверждения несколько осложняется из-за неоднозначности десятичной записи чисел. Поэтому мы дадим лишь эскиз доказательства Кантора.

Рис. 11

Возьмем отрезок [0, 1] и квадрат со стороной 1. Этот квадрат можно считать расположенным так, как на рис. 11. Нам надо установить взаимно однозначное соответствие между точками отрезка и квадрата. Проектирование точек квадрата на отрезок АВ здесь не помогает, ведь при проектировании в одну точку отрезка перейдет бесконечное множество точек квадрата (например, в точку А — все точки отрезка DA).

Решение получается следующим образом. Каждую точку T квадрата ABCD можно задать двумя числами — ее координатами x и y (или попросту ее расстояниями до сторон АВ и AD). Эти числа можно записать как бесконечные десятичные дроби. Так как x и y не больше 1, то эти дроби имеют вид

x = 0, ?₁?₂ ... ,?_n ...,(1)

y = 0, ?₁?₂ ... ?_n ...(2)

(для простоты мы не берем точки квадрата, лежащие на его сторонах, а берем лишь внутренние точки). Здесь ?_n и ?_n — десятичные знаки чисел x и y, например, если x = 0,63205... и y = 0,21357..., то ?₁ = 6, ?₂ = 3, ?₃ = 2 и т. д., а ?₁ = 2, ?₂ = 1, ?₃ = 3 и т. д.

Нам надо теперь найти точку Q отрезка АВ, соответствующего точке Т. Достаточно указать длину отрезка AQ. Мы выберем эту длину равной числу z, десятичные знаки которого получаются путем "перетасовывания" десятичных знаков чисел хну. Иными словами, сделаем из двух записей (1) и (2) третью, написав их десятичные знаки через один:

z = 0, ?₁?₁?₂?₂?₃?₃ ... ?_n?_n ...

Например, если

x = 0,515623...

и

y = 0,734856...,

то

z = 0,571354682536...

Точка z лежит на отрезке [0, 1], и ясно, что различным точкам квадрата соответствуют при этом разные точки отрезка. Ведь если точки T и T' не совпадают, то в десятичных записях чисел x и x' или y и y' хоть один знак будет разный. Но это приведет к тому, что десятичные записи соответствующих чисел z и z' не совпадут. Несколько более подробный анализ показывает, что тогда не совпадают и сами эти точки.

Всех точек отрезка мы не получим. Например, точка z = 0,191919... должна была бы получиться из пары x = 0,111..., y = 0,999..., соответствующей точке на стороне квадрата, а такие точки мы условились не брать. Поэтому при отображении квадрата на отрезок точка z не будет образом ни одной точки квадрата.

Мы установили взаимно однозначное соответствие между точками квадрата и частью точек отрезка [0, 1]. Это показывает, что множество точек квадрата имеет не большую мощность, чем множество точек отрезка. Но его мощность и не меньше, а потому эти мощности совпадают.

Не только квадрат, но и куб имеет столько же точек, сколь и отрезок. Вообще любая геометрическая фигура, содержащая хоть одну линию, имеет столько же точек, сколько и отрезок. Такие множества называют множествами мощности континуума (от латинского continuum — непрерывный).