Новые осложнения.

Не зря все-таки Аристотель предупреждал о зыбкости и неясности понятия бесконечности, об осложнениях, к которым оно может привести. Вскоре после создания ныотонианской физики и математического анализа в этих науках возникли первые осложнения.

Ученики и последователи Ньютона и Лейбница с необычайной легкостью пользовались расплывчатыми и полными непостижимой загадочности понятиями бесконечно малого и бесконечно большого, решая с их помощью сложнейшие задачи астрономии, физики и механики. Запросто складывали они бесконечные множества слагаемых, не колеблясь, переносили на такие суммы правила действий над конечными суммами. И хотя основные понятия нового исчисления казались туманными для математиков, воспитанных на античной строгости, практические успехи нового исчисления заставляли всех забывать об этом. "Идите вперед, и вера к вам придет", говаривал своим ученикам видный французский математик XVIII в. Д'Аламбер[22].

Однако к концу XVIII в. появились первые признаки неблагополучия — стали накапливаться случаи, когда некорректное применение бесконечно малых и бесконечно больших величин приводило к парадоксам. Поэтому в начале XIX в. эти величины были вновь изгнаны из математики и их место заняла идея предела. Громадную роль здесь сыграли работы Нильса Хенрика Абеля[23], Огюстена Когаи[24] и Карла Фридриха Гаусса[25], которого его современники называли "princeps mathematicorum" (первый среди математиков). Для отношения Гаусса к понятию бесконечности характерен следующий отрывок из его письма к Шумахеру[26], написанного в 1831 г.: "...Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими".

Возникли осложнения и в космологии. Естественное предположение о равномерном распределении звезд в бесконечном пространстве неожиданно привело к парадоксу. Оказалось, что их суммарная светимость должна была бы оказаться такой, как если бы в каждой точке неба сверкало по Солнцу. Такую картину много столетий тому назад представил себе индийский поэт, воскликнувший:

Силой безмерной и грозной небо б над нами сияло,

Если бы тысяча Солнц разом на нем засверкала.

Кроме этого парадокса, получившего название фотометрического, возник другой, названный гравитационным. Оказалось, что если бы в бесконечной Вселенной была лишь конечная масса материи, то вся эта материя должна была бы собраться в одном месте, в один ком. А если суммарная масса бесконечна, то при равномерном распределении произошло бы взаимное уравновешивание сил тяготения.

Оба эти парадокса можно устранить, предположив, что материя распределена во Вселенной неравномерно. Но это ведет к гипотезе о существовании центра Вселенной, что не менее удивительно, чем конечность массы во Вселенной. А кроме того, как показали современные наблюдения, в нашей Метагалактике материя распределена более или менее равномерно.

Как фотометрический, так и гравитационный парадоксы оказались устранены лишь после того, как в XX в. была создана новая теория о строении Вселенной, основанная на общей теории относительности Эйнштейна. Прежде чем рассказывать о новых представлениях, сделаем еще один экскурс в математику.