Как делают статуи.

Создав теорию множеств, Кантор перешел к вопросу о том, что такое геометрическая фигура? Самый общий ответ на этот вопрос гласил: геометрическая фигура — это любое множество точек пространства. Если это множество лежит на плоскости, то получается плоская геометрическая фигура. Но такой ответ был бы слишком общим — у "фигур" в этом смысле нет почти никаких достаточно интересных свойств.

Поэтому надо было в первую очередь ограничить совокупности изучаемых множеств, выделить из них те, которые ближе всего по своим свойствам к обычным геометрическим фигурам.

Чтобы выделить такой класс фигур, выясним, что общего имеют друг с другом обычные фигуры, такие, как квадрат, круг, отрезок прямой, астроида и т. д. Оказывается, все эти фигуры можно получить единообразным процессом.

Про многих знаменитых скульпторов рассказывают, что на вопрос, как удается делать столь замечательные статуи, следовал ответ: "Я беру глыбу мрамора и отсекаю от нее все лишнее". В разных книгах это можно прочитать о Микеланджело, о Торвальдсене, о Родене.

Тем же самым способом можно получить любую ограниченную плоскую геометрическую фигуру: надо взять какой-нибудь квадрат, в котором она лежит, а потом отсечь все лишнее. Однако отсекать надо не сразу, а постепенно, на каждом шагу отбрасывая кусочек, имеющий форму круга. При этом сам круг выбрасывается, а его граница — окружность — остается в фигуре.

Рис. 23

На первый взгляд кажется, что так можно получить лишь фигуры такого вида, как на рис. 23. Но все дело в том, что отбрасывают не один и не два круга, а бесконечное, точнее говоря, счетное множество кругов. Таким путем можно получить любую фигуру. Чтобы убедиться в этом, достаточно принять во внимание, что множество кругов, у которых рациональны и радиус и обе координаты центра, счетное (это легко доказывается описанными во второй главе методами). А теперь, чтобы получить любую фигуру, достаточно взять содержащий ее квадрат ("глыбу мрамора") и отбросить все круги указанного выше вида, которые не содержат ни одной точки нужной нам фигуры. Если же выбрасывать круги не из квадрата, а из всей плоскости, то описанным приемом можно получить и неограниченные фигуры.

С помощью описанного выше метода можно получить круги и квадраты, эллипсы и астроиды, любые правильные многоугольники и звезды. Но получить таким путем квадрат с выброшенной вершиной не удастся — при попытке вырезать эту вершину придется удалить и какую-то ее окрестность. В математике фигуры, получаемые из плоскости вырезанием счетного множества кругов (напомним, что при этом граница выбрасываемого круга остается нетронутой), называют замкнутыми.