Неравные множества.

Мы уже выяснили, что значат слова "два множества имеют поровну элементов".

А теперь выясним, что значит "одно множество имеет больше элементов, чем второе". Для конечных множеств это тоже можно выяснить, не прибегая к счету. Вспомним пример с танцплощадкой.

Если после того, как заиграет оркестр и юноши пригласят девушек танцевать, некоторые нерасторопные юноши окажутся не у дел, то ясно, что юношей больше. Если же часть девушек будет с грустью наблюдать за своими танцующими подругами, то ясно, что больше девушек.

В этих случаях мы поступали так: устанавливали взаимно однозначное соответствие между одним множеством и частью другого множества. Если это удавалось, то отсюда следовало, что второе множество содержит больше элементов, чем первое. Пользуясь этим методом, легко установить, например, что рыб в океане меньше, чем атомов на земном шаре (хотя оба эти множества и конечны, их вряд ли возможно пересчитать). Для этого достаточно каждой рыбе поставить в соответствие один атом, входящий в состав ее тела. Тем самым будет установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех рыб и частью множества всех атомов на земном шаре.

К сожалению, для бесконечных множеств так просто поступить нельзя. Ведь мы уже видели, что множество может иметь столько же элементов, сколько и его часть. Поэтому только из того, что множество A имеет столько же элементов, сколько часть множества B, еще нельзя заключить, что оно имеет меньше элементов, чем все множество B.

Мы скажем, что если A можно поставить во взаимно однозначное соответствие с частью множества B, то множество B имеет не меньше элементов, чем множество A. Можно доказать, что это отношение обладает всеми свойствами неравенств:

   1. каждое множество имеет не меньше элементов, чем оно само;

   2. если в одном множестве не меньше элементов, чем во втором, а во втором — не меньше элементов, чем в третьем, то первое множество имеет не меньше элементов, чем третье;

   3. если каждое из двух множеств имеет не меньше элементов, чем другое, то оба имеют поровну элементов (то есть между элементами этих множеств можно установить взаимно однозначное соответствие).

Первое свойство вытекает из того, что, ставя в соответствие каждому элементу множества A сам этот элемент, получаем взаимно однозначное отображение A на себя. Прозрачен и смысл второго свойства: если A можно взаимно однозначно отобразить на часть множества B, а B — на часть множества C, то существует взаимно однозначное отображение A на часть C.

А вот третье свойство при всей простоте его формулировки означает довольно сложное утверждение: если можно взаимно однозначно отобразить множество A на часть множества B, а множество B на часть множества A, то существует и взаимно однозначное отображение всего множества A на B. То, что дело обстоит таким образом, с самого начала подозревал Г. Кантор. Однако ему в течение долгого времени не удавалось найти доказательства этого утверждения. О своих затруднениях он рассказал в 1897 г. на лекциях по теории множеств для студентов университета в Галле. Через несколько дней один из слушателей, 19-летний Феликс Бернштейн[48], принес Кантору доказательство этого утверждения, основанное на той же идее, с помощью которой директор космической гостиницы помещал в нее новых постояльцев. Поэтому сейчас это утверждение называют теоремой Кантора-Бернштейна. Лишь через много лет в оставшихся после смерти немецкого математика Дедекинда бумагах нашли полученное им еще в 1887 г. доказательство той же теоремы.

Выясним теперь, в каких же случаях говорят, что мощность множества A меньше мощности множества B. Может случиться, что множество B имеет не меньше элементов, чем множество A, но эти множества не эквивалентны. Иными словами, может случиться, что есть взаимно однозначное соответствие между множеством A и частью B₁ множества B, но не существует взаимно однозначного соответствия между A и всем множеством B. Вот в этом случае мы и будем говорить, что A имеет меньше элементов, чем B.