μ - АТОМЫ И μ - МОЛЕКУЛЫ
При дальнейшем исследовании параметрического отображения нам будет удобнее пользоваться параметром ?. ? - атом может иметь сердцевидную форму – в этом случае он является «затравкой», с которой связывается бесконечное множество атомов овальной формы (как непосредственно, так и через атомы – посредники). Совокупность взаимно связанных атомов и связей между ними образует «молекулу». Точка заострения затравки связью не бывает никогда.
Каждому атому сопоставлено некоторое целое число w, его «период». Когда точка ? лежит внутри атома периода w, итерации f*n(z) уходят в бесконечность или образуют устойчивый предельный цикл, состоящий из w точек. Внутри атома периода w справедливо неравенство |f*'w(z?)|=1, причем равенство f*'w(z?)=1 описывает точку заострения, или «корневую» точку. Каждый атом содержит точку (назовем ее «ядром»), в которой выполняются равенства f*'w(z?)=0 и f*w(0)=0.
О ядрах, расположенных на вещественной оси, впервые сообщил Мирберг в 1962 г. [440]; после этого они сплыли лишь в 1973 г. (см. [430]). Соответствующие отображения часто называют «сверхустойчивыми» (см. [83]).
Если рассматривать равенство f*w(0)=0 как алгебраическое уравнение относительно ?, то его порядок равен 2w?1. Следовательно, может существовать не более 2w?1 атомов периода w; в действительности их меньше, за исключением случая w=1. При w=2 уравнение f*2=0 имеет два корня, однако один из них уже является ядром «предыдущего» атома периода 1. В более общем виде все корни уравнения f*m(0)=0 являются также корнями уравнения f*km(0)=0, где k - целое число, большее 1. Заметим далее, что каждая рациональная граничная точка, расположенная на границе атома периода w и удовлетворяющая условию f*'w(z?)=exp(2?im/n), где m/n - неприводимое рациональное число, меньшее 1, заключает в себе «принимающую связь», готовую присоединить атом периода nw. Как следствие, некоторые новые атомы соединяются с существующими принимающими связями. Однако в этот процесс оказываются вовлечены не все новые атомы, и оставшимся не остается ничего иного, как послужить затравкой для новых молекул. Таким образом, число молекул бесконечно.
Когда значение ? непрерывно изменяется внутри молекулы, каждое направленное наружу прохождение связи ведет к бифуркации: w умножается на n. Пример: увеличение вещественного ? приводит к мирбергову удвоению периода. Инверсия бифуркации, которая я рассматриваю в [398] и называю слиянием, должна прекратиться по достижении периода затравки молекулы. Молекула-континент является областью слияния в c=1, а каждая молекула-остров является областью слияния с c>1. Форма дракона или субдракона регулируется значениями f*'w(z?) и w/c.