ПРИЛОЖЕНИЕ: НЕМАСШТАБИРУЕМЫЕ КРАТЕРЫ

С учетом поставленной задачи распределение кратеров на поверхности Луны лучше всего описать в виде Pr(A>a)=Fa^??, где ?=1. Такое же значение показателя ? верно, по всей видимости, и для Марса, однако спутники Юпитера характеризуются иными значениями ? (см. [531]). Ну а для метеоритов малого объема ?<1. Соответствующие трема – множества не являются масштабно-инвариантными.

Случай ?>1. В первом немасштабируемом случае на любую заданную точку поверхности планеты, независимо от значения W, почти наверное приходится бесконечное количество кратеров. В текстуре поверхности наблюдается подавляющее преобладание малых кратеров. Подобная текстура характерна для поверхности Юпитера Каллисто, а показатель ? в этом случае действительно больше единицы. Неравенство ?>1 рассматривалось и в предыдущих эссе, увидевших свет еще до полета «Вояджера», хотя тогда мы могли обсуждать его лишь в качестве теоретической возможности.

Случай ?<1. Ограничение на площадь кратеров. Обозначим наибольшую площадь через 1; тогда вероятность того, что некая точка не попадет ни в один из существующих кратеров, положительна, поскольку сходится интеграл ₀?¹Pr(A>a)da, но уменьшается при увеличении W. Получаемая при этом щербатая поверхность даже больше похожа на срез головы швейцарского сыра, чем рассмотренные ранее масштабно-инвариантные множества. Чем больше значение ?, тем меньше количество малых отверстий, и тем более «цельным» становится получаемый сыр. Однако, независимо от ?, площадь поверхности остается положительной, т.е. поверхность представляет собой множество (несамоподобное) с размерностью 2. С другой стороны, я не сомневаюсь в том, что его топологическая размерность равна 1, а это означает, что перед нами фрактал.

В пространственном (метеоритном) случае размерности этого трема – фрактала составляют, соответственно, D=3 и D_T=2.