ТРЕМЫ В ИНТЕРВАЛЕ И СООТВЕТСТВУЮЩИЕ ПУСТОТЫ [371]
В работе [371] я рандомизировал канторово построение путем сглаживания ступеней распределения и выбором расположения трем и их длин случайным образом, независимо друг от друга. Наконец, для реализации пропорциональности u?1 предполагается, что количество трем, длина которых превышает u, а центр приходится на некий интервал длины ?t, имеет математическое ожидание, равное (1?D*)?t/u, и пуассоновское распределение. Причина введения обозначения 1?D* вскоре прояснится.
Будучи независимыми, тремы могут пересекаться, чем они и занимаются с большим удовольствием: вероятность того, что какую-либо трему ни разу не пересечет другая трема, равна нулю. Иными словами, понятия тремы и пустоты (или паузы) больше не совпадают: термином пустота мы теперь обозначаем интервалы, образованные перекрывающимися тремами. Возникает вопрос: сливаются ли все тремы, в конце концов, в одну гигантскую пустоту, или в интервале остаются непокрытые ими точки? Мы сначала объявим ответ, а затем, в следующем разделе, обоснуем его с помощью наглядного рассуждения на примере процесса рождения и покажем, что непокрытые точки образуют невынужденные кластеры.
Рассмотрим интервал, не покрытый полностью тремами с длиной больше ?0, и введем меньшие тремы, длина которых превышает движущийся порог ?, убывающий с ?0 до 0. Устремив при D*?0 порог ? к 0, мы почти наверняка (вероятность стремится к 1) получим интервал, в котором не остается непокрытой ни одна точка. При 0<D*<1 может получиться то же самое, однако почти полной уверенности тут уже нет.
Даже в пределе существует некоторая положительная вероятность, что какой-то участок («трема – фрактал») останется непокрытым. В [371] доказывается, что этот трема – фрактал представляет собой не что иное, как пыль Леви с размерностью D=D*.
Короче говоря, D=max(D*,0).