СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДИАМЕТРОМ И КОЛИЧЕСТВОМ

Доказательство применимости закона Корчака к островам, рассмотренным в последнем разделе, проще всего осуществляется тогда, когда генератор включает в себя один остров, а терагоны избегают самопересечений. (Напомню, что терагонами называются аппроксимирующие ломаные линии.) В этом случае на первом этапе создается один остров — обозначим его «диаметр», определяемый ?a, через ?₀. На втором этапе образуется N островов диаметра r?₀, а результатом m-го этапа будет N^m островов диаметра ?=r^m?₀. В целом, всякий раз, как ? умножается на r, количество островов Nr(?>?) умножается на N. Следовательно, распределение ? (для всех значений ? вида r^m?₀) описывается выражением

Nr(?>?)=F?^?D,

ключевым показателем в котором является фрактальная размерность береговой линии! Как следствие:

Nr(A>a)=F'a^?B, где B=D/2;

т. е. мы самостоятельно вывели закон Корчака. При других значениях ? или a получится ступенчатая кривая, знакомая нам по главе 8, где она описывала распределение длин канторовых пустот.

Результат не зависит ни от N_c, ни от D_c. Его можно распространить на тот случай, когда генератор включает в себя два или более островов. Заметим, что эмпирически полученное значение B для всей Земли составляет величину порядка 0,6, что весьма близко к половине размерности D, полученной измерением длин береговых линий.