МАССОВЫЙ ПОКАЗАТЕЛЬ Q=2DC-D

Обозначим фрактал размерности D, рекурсивно построенный из инициатора [0, ?], через F и примем его общую массу за ?^D. Если F — канторова пыль, то, как нам известно из главы 8, масса M(R), содержащаяся в диске радиуса R<? с центром в нуле, пропорциональна R^D. < Величина ln[M(R)R^?D] представляет собой периодическую функцию от log_b(?/R), однако мы не станем задерживаться на этих сложностях, так как они исчезают, стоит лишь модифицировать фрактал таким образом, чтобы все значения r>0 оказались допустимыми коэффициентами самоподобия. ?

Мы знаем, что правило M(R)?R^D применимо также к кривой Коха (см. главу 6). Кроме того, оно распространяется и на рекурсивные острова и кластеры, рассматриваемые в этой главе, только D следует заменить на D_c. Во всех случаях масса, содержащаяся в диске радиуса R с центром в нуле, определяется выражением

M(R,?)=R^Dc?(R/?),

где? — функция, выводимая из формы фрактала F. В частности:

M(R,?)?R^Dcпри R??;

M(R,?)??^Dcпри R??.

Рассмотрим теперь среднее взвешенное значение M(R) в случае, когда ? изменяется в соответствии с весьма широким гиперболическим распределением Wnr(?>?)??^?D+Dc, и обозначим это среднее через <M(R)>. Известно, что 1?D_c<D?2. Исключив сочетание D=2 и D_c=1, можно записать 0<D?D_c<D_c. Следовательно,

<M(R)>?R^Q, где Q=2D_c?D>0.

Когда центр диска находится не в точке 0, а в какой-либо другой точке фрактала F, изменяется только коэффициент пропорциональности, тогда как показатель остается неизменным. Не изменяется он и при усреднении по всем положениям центра в F, и при замене интервала [0, 1] другим инициатором. < Обычно берут дугу кривой произвольной длины ? и произвольной же формы. Вышеприведенные формулы для M(R,?) применимы и для <M(R,?)>, усредненного по всем формам. Окончательный результат всегда одинаков. ?

Замечание. Предыдущее рассуждение никак не зависит от топологии кластеров — они могут быть петлями, интервалами, деревьями или чем-нибудь еще.

Вывод. Формула <M(R)>?R^Q показывает, что при гиперболическом распределении величины ? и, как следствие, очень широком ее разбросе, одну из существенных ролей размерности берет на себя некий показатель, отличный от D. Обычно он равен 2D_c?D, однако различные весовые функции дают различные показатели Q.

Предостережение: не всякий массовый показатель является размерностью. Составная величина Q представляет собой весьма важную характеристику. А так как это массовый показатель, возникает искушение назвать его размерностью, однако это искушение ничем не обосновано. При слиянии различных кластеров с одинаковой размерностью D_c, но разными ?, D_c не изменяется, поскольку размерность — это не свойство совокупности различных множеств, но свойство каждого отдельного множества. И D, и D_c являются фрактальными размерностями, a Q — нет.

Обобщая, можно сказать, что во многих областях физики известны соотношения вида <M(R)>?R^Q однако сама по себе эта формула еще не гарантирует того, что Q непременно будет фрактальной размерностью. Называть же Q эффективной размерностью, как предлагают некоторые авторы, все равно, что попусту сотрясать воздух, так как Q не обладает ни одним из остальных свойств, характеризующих D как размерность (например, суммы или произведения размерностей D имеют смысл, которому нет аналогов в случае Q). Более того, эти пустые слова оказываются источником возможных недоразумений.