БРОУНОВСКАЯ МОДЕЛЬ С УЧЕТОМ ВЫВЕТРИВАНИЯ: ГОРНЫЕ ХРЕБТЫ И ПЛОСКИЕ ДОЛИНЫ

Возможно, кто-то из читателей уже испытывает неодолимое искушение модифицировать мои броуновские модели, предположив, что каждая из чаш броуновского материка B_H заполнена грунтом и образует плоскую равнину. Нет нужды графически иллюстрировать получающуюся при этом функцию B^*_H, так как во всех представляющих для нас интерес случаях (т.е. когда D не намного больше 2) заполнение малых чаш не приведет к сколько-нибудь заметным изменениям во внешнем виде рельефа.

Для того чтобы у нас было чем заполнять чаши, следует допустить наличие выветривания, сглаживающего горы; как мы вскоре убедимся, количество требуемого грунта не так уж велико (если D не намного превышает 2), поэтому разумно будет предположить, что форма гор изменяется не слишком сильно. То обстоятельство, что выветривание сглаживает также и седловые точки, через которые чаши опустошаются, мы пока учитывать не будем.

С позиций настоящего эссе, главное достоинство предлагаемой модификации заключается в том, что при правильно подобранном уровне моря выветренный броуновский рельеф на плоской Земле остается масштабно-инвариантным. Как же такая эрозия влияет на размерность? Имеются данные, согласно которым значение размерности функции B^*_H находится в интервале между 2 и 3?H(размерность функции B_H).

Докажем, что относительное количество грунта, необходимое для заполнения всех чаш, невелико при D=2+?. Порядок величины объема материка равен типичной длине проекции материка в степени 2+H, что прямо пропорционально площади материка в степени 1+H/2, а объем чаши по отношению к объему материка равен относительной площади чаши в степени 1+H/2 . Поскольку относительная площадь демонстрирует гиперболическое распределение с показателем, близким к единице, и поскольку сумма всех относительных площадей равна 1, можно заключить, что величина ?(относительная площадь чаши)^1+H/2 весьма мала. Исключения из общего правила возникают тогда, когда наибольшая чаша чрезвычайно велика; такие чаши заполнять необязательно, как это и произошло в случае Большого Соленого озера.