ПРЕДЕЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО ИНВЕРСНОЙ ГРУППЫ

Самым интересным самоинверсным множеством является самое маленькое. Оно называется предельным множеством (и обозначается буквой ?), поскольку является также множеством предельных точек преобразований любой исходной точки под действием операций группы G. Оно принадлежит клану любой затравки S. Проясним формальное определение: множество ? состоит из таких предельных точек, которые не могут быть получены конечным числом инверсий. На интуитивном уровне это множество можно представить как область скопления бесконечно малых потомков.

Множество ? можно свести к точке или окружности, однако в общем случае оно является фрагментированным и/или/ иррегулярным фрактальным множеством.

Множество ? стоит в мозаике особняком, как «множество бесконечно малых плиток». Оно играет по отношению к конечным элементам мозаики такую же роль, какую играют концы ветвей (см. главу 16) по отношению к самим ветвям. Однако здесь ситуация проще: подобно ? мозаика T представляет собой самоинверсное множество без остатка.

Множество ? называется аполлониевым, если оно состоит из бесконечного количества окружностей вместе с их предельными точками. В данном случае его фрактальность является исключительно следствием фрагментации. Этот прецедент был изучен и осмыслен (хотя и в несколько многословной манере) на раннем этапе истории предмета.

Сначала мы построим основной пример, а затем покажем его самоинверсность. Аполлоний Пергский – это древнегреческий математик, живший в III в. до нашей эры. Он был представителем александрийской школы и верным последователем Евклида и известен, помимо прочего, тем, что составил алгоритм построения пяти окружностей, касательных к трем заданным окружностям. В том случае, когда заданные окружности взаимно касательны, число аполлониевых кругов равно двум. Как мы вскоре убедимся, вполне можно предположить, не потеряв при этом в общности, что две из заданных окружностей являются внешними по отношению друг к другу, но содержаться внутри третьей.

Эти три окружности определяют два круговых треугольника, углы которых равны 0°. А аполлониевы окружности - это наибольшие окружности, какие можно вписать в эти треугольники.

Законченное аполлониево построение включает в себя пять окружностей, три заданных и две аполлониевых, которые вместе определяют шесть круговых треугольников. Повторяя вышеописанную процедуру, впишем в каждый треугольник наибольшую возможную окружность. Результат бесконечного повторения такой процедуры называется аполлониевой упаковкой. А если добавить к этой бесконечной совокупности окружностей ее предельные точки, то получится множество, которое я назвал аполлониевой сетью. Область сети, заключенную внутри кругового треугольника (как показано на рисунке) будем называть аполлониевой салфеткой.

Если одну из аполлониевых окружностей первого поколения заменить на любую из заданных внутренних окружностей, предельное множество никак не изменится. Если указанной аполлониевой окружностью заменить внешнюю заданную окружность, то построение начинается с трех заданных окружностей, внешних по отношению друг к другу, и одна из аполлониевых окружностей первого этапа окажется наименьшей окружностью, описанной вокруг трех заданных. После такого нетипичного этапа построение продолжается так же, как описано выше, подтверждая то, что наш рисунок и в самом деле соответствует наиболее общему случаю.

Упаковка Лейбница. Аполлониева упаковка похожа на конструкцию, которую я называю круговой упаковкой Лейбница, так как, насколько мне известно, впервые она была описана в письме Лейбница к де Броссу: «Представьте себе окружность, а затем впишите в нее еще три окружности наибольшего возможного радиуса, конгруэнтные друг другу: повторите аналогичную операцию с каждой из этих окружностей и с каждым промежутком между ними. А теперь вообразите, что этот процесс продолжен до бесконечности…»