1. ГАУССОВЫ С.В. МАСШТАБНО-ИНВАРИАНТНЫ ПРИ СЛОЖЕНИИ

Известно, что гауссово распределение обладает следующим свойством: возьмем две независимые гауссовы случайные величины G₁ и G₂ и запишем

<G₁>=<G₂>=0; <G₁²>=?₁²; <G₂²>=?₂²;

тогда их сумма удовлетворяет равенству

<G₁+G₂>=0; <(G₁+G₂)²>=?₁²+?₂².

Что более важно, величина G₁+G₂ сама является гауссовой случайной величиной. Таким образом, гауссово свойство инвариантно при сложении независимых случайных величин. Иными словами, гауссову случайную величину можно рассматривать как возможное решение системы уравнений, состоящей из функционального уравнения.

(L) (s₁X₁+s₂X₂)=sX

и вспомогательные соотношения

(A:2) s₁²+s₂²=s².

В действительности же, только гауссово распределение удовлетворяет как уравнению (L), так и соотношению (A:2) (без учета масштаба).

Более того, если в качестве вспомогательного соотношения выступает <X²><?, то гауссова случайная величина опять оказывается единственным решением.

Функциональное уравнение (L), для обозначения которого Леви использует термин устойчивость, подвергнуто весьма глубокому исследованию в его работе [302]. Во избежание возможной двусмысленности я использую в соответствующих случаях несколько громоздкую конструкцию устойчивость по Леви.