ДРОБНАЯ ДЕЛЬТА-ДИСПЕРСИЯ

В главе 21 дельта-дисперсия случайной функции определяется как дисперсия приращения функции за приращение времени ?t. Дельта – дисперсия обыкновенной броуновской функции равна |?t| (см. главу 25). Как я отметил в [348], для объяснения соотношения Херста R(d)/S(d)?d^H, где H может принимать любое значение, вполне достаточно, чтобы кумулятивный процесс X^* был гауссовым процессом с обращающимся в нуль дельта - ожиданием и дельта – дисперсией, равной |?t|^2H. Эти условия определяют некоторый уникальный масштабно-инвариантный случайный гауссов процесс. А поскольку показатель 2H представляет собой дробное число, этот уникальный процесс может с полным правом называться дробной броуновской функцией из прямой в прямую (приведенной). Подробности и иллюстрации можно найти в [404, 405, 406, 407, 408].

Переходя от функций из прямой в прямую к функциям B_H(t) из прямой в плоскость, можно предложить в качестве необходимого дополнения следующее альтернативное определение: среди кривых с размерностью D=1/H, параметризованных по времени, след функции B_H(t) является единственной кривой, приращения которой подчиняются гауссову распределению и стационарны относительно любого смещения (т.е. «лишены складок»), а также масштабно-инвариантны относительно любого значения коэффициента r>0.

Значение H=? (или D=2) соответствует обыкновенному броуновскому движению, которое, как мы знаем, представляет собой процесс, не проявляющий персистентности (т.е. его приращения независимы). Остальные ДБД распадаются на два резко отличных друг от друга семейства. Значения показателя Херста ?<H<1 соответствуют персистентному ДБД, следами которого являются кривые с размерностью D=1/H, причем 1<D<2. Значения показателя Херста 0<H<? соответствует антиперсистентному ДБД.