СВОЙСТВА ЧАШ

Взглянем на высказанные ранее утверждения в более широкой перспективе, для чего рассмотрим сначала простой, одномерный случай – дробную броуновскую функцию B_H(x) из прямой в прямую. Островом в таком рельефе будет интервал [x',x"], в котором B_H(x)>0 при x'<x<x'', а B_H(x')=B_H(x'')=0. Обозначим через x=x₀ точку, в которой значение функции B достигает максимума (вероятность существования нескольких максимумов x₀ исчезающее мала), и определим функцию B^*_H(x) следующим образом:

, если x находится в интервале [x',x₀],

, если x находится в интервале [x₀,x"].

Очевидно, что необходимым и достаточным условием для того, чтобы капля, отправившись в путь из точки (x,z), добралась до океана, двигаясь все время по невосходящей траектории, является справедливость неравенства z?B^*_H(x). Капли, для которых верно неравенство B_H(x)<z<B^*_H(x), остаются в чашах навсегда, а значение z=B^*_H(x) соответствует уровню воды, достигаемому после заполнения всех чаш. Эта наша функция B^* представляет собой не что иное, как чертову лестницу Леви (см. рис. 399 и 400), идущую вверх от точки x' до точки x₀ и объединенную с другой лестницей, идущей вниз от x₀ до x''.

Она непрерывна, но недифференцируема, и изменяется на множестве нулевой длины. Любая капля воды, добавленная вблизи высочайшей точки материка, вскоре вольется в океан, двигаясь только по плоским областям, чередующимся с «водопадами».

Капли, которые не могут утечь в океан, заполняют область B_H(x)<z?B^*_H(x). Эта область несвязна, так как она не содержит точек, в которых B^*_H=B_H, а ее связные участки представлены расположенными на материке чашами. Длина чаши определяется как расстояние между двумя последовательными нулевыми значениями разности B^*_H?B_H. Благодаря масштабной инвариантности функции распределение этой длины следует гиперболическому закону; известно, что при H=? показатель распределения также равен ?, и я убежден, что этот показатель всегда совпадает со значением параметра H. Отношение наибольшей длины чаши к |t'?t"| имеет наибольшее значение при H?0 и наименьшее при H?1.

Вернемся к броуновскому материку B_H(x,y) на плоской Земле. И в этом случае функция B^*_H(x,y) определяется с помощью аналогичного условия: капля воды, отправившись в путь из точки, расположенной на высоте z>B^*_H(x,y), может добраться до океана по невосходящей траектории, любая точка которой находится выше материка. Как и ранее, пространственная область, внутри которой справедливо неравенство B_H(x,y)<z?B^*_H(x,y), распадается на отдельные связные открытые области, определяющие чаши.

Сравним эти чаши с чашами на очень тонком срезе материка, ограниченном параллельными стенами y=0 и y=?, применяя введенные ранее обозначения B_H(x) и B^*_H(x). Согласно определению функции B^*_H(x), пути утекания воды ограничиваются траекториями, которые находятся между упомянутыми стенами, тогда как определение B^*_H(x,0) допускает гораздо более широкий выбор возможных путей утекания. Следовательно, B^*_H(x,0)<B^*_H(x) почти при любом x. То есть функция B^*_H(x,0), равно как и любое другое вертикальное сечение функции B^*_H(x,y), представляется намного более интересной, нежели функция B^*_H(x). Эти сечения представляют собой чертовски террасированные сингулярные функции с бесконечным количеством пикообразных локальных максимумов и плоских локальных минимумов. Если верно мое наиболее правдоподобное предположение, то последние покрывают почти все точки материка.

Так как сумма площадей чаш не может быть больше площади материка, чаши можно расположить в порядке убывания площади, а это означает, что множество чаш счетно. Следовательно, береговая линия материка B_H, соответствующая некоторому случайному значению z₀, почти наверняка не содержит двойных точек.

Значит, совокупную границу всех чаш можно получить следующим образом: возьмем некоторое счетное множество значений z_m - сюда почти наверное не войдет значение, при котором береговая линия образует петлю. Цензурируем множество береговых линий посредством удаления из всех значений z₀=z_m тех, что соответствуют береговым линиям глухих долин. К полученному объединению цензурированных береговых линий добавим его предельные точки.

Для любого M>2 возможно непосредственное обобщение в броуновскую функцию от M - мерной переменной x={x₀,...x_M}. Из приведенного выше рассуждения для случая M=2 можно видеть, что при заданной функции B_H(x) разница между B^*_H и B_H уменьшается по мере увеличения M. В пределе, когда M=?, а B_H - есть броуновская функция в гильбертовом пространстве, из классических результатов, полученных Полем Леви, следует что B^*_H?B_H?0. Останется ли это тождество истинным для всех M>M_крит, где M_крит<??