ФРАКТАЛЬНЫЙ ПРЕДЕЛ СЛУЧАЙНОГО БЛУЖДАНИЯ

Для начала отметим роль слабой сходимости в контексте броуновского движения. Как мельком упоминалось в главе 25, случайное блуждание на решетке (состоящей, например, из точек, координаты которых являются исключительно целыми числами) можно «учащать» до тех пор, пока шаг решетки не станет пренебрежимо малым, а его влияние на наблюдаемый результат – ничтожным.

Общеизвестно, что данная процедура «порождает» броуновское движение, однако термин «порождать» приобретает здесь новый смысл. Последовательность терагонов, которую мы использовали в главе 6 для построения кривой Коха, можно сравнить с картиной, детализация которой постепенно увеличивается посредством все более точной фокусировки. Что же касается последовательности учащенных случайных блужданий, то она ведет себя совсем иначе: на одном этапе случайное блуждание приближается к одному броуновскому движению, на следующем этапе оно подходит ближе, но уже к другому броуновскому движению, потом еще ближе – к третьему и так далее… не в состоянии осесть на каком-то одном месте. Это обстоятельство дает математикам полное право называть процесс сходимости случайного блуждания слабым или слабо определенным. С тем же правом конечно-учащенное случайное блуждание мы можем рассматривать как фрактальную кривую, внутренний порог которой равен шагу решетки. Однако это не тот порог, который знаком нам по предыдущим главам. Тот внутренний порог накладывался a posteriori на определенные геометрические построения, которые в теории не предполагают наличия какого бы то ни было порога и которые можно интерполировать до бесконечно малых масштабов, получая при этом фракталы. Случайное же блуждание интерполировать никоим образом нельзя.