Σ- ДИСКИ, ОСКУЛИРУЮЩИЕ МНОЖЕСТВО ℒ

Оскулирующие диски и ?- диски являются ключевыми фигурами в моем новом, свободном от перечисленных на с. 247 недостатков, способе построения множества ?. Этот способ демонстрируется в полном виде впервые (хотя о нем уже упоминалось в 1980 г. в «Математическом календаре»). Суть его в том, что следует инвертировать не сами окружности C_m, а некоторые из окружностей ?_ijk, которые (согласно определению на с. 244) ортогональны триплетам C_i, C_j и C_k. Здесь мы опять полагаем, что не все окружности ?_ijk совпадают с одиночной окружностью ?.

Ограничение M=4. Если ограничить число исходных окружностей M четырьмя, то мы сможем быть уверены в том, что для любого триплета i, j, k один из двух открытых дисков, ограниченных окружностью ?_ijk (т.е. либо внутренний, либо наружный), не содержит ни одной из точек ?_mn, определенных на с. 247. Обозначим этот свободный от точек ? диск через ?_ijk.

Основой моего способа построения ? послужили следующие наблюдения: все свободные от ? диски ?_ijk оскулируют ?; таким же свойством обладают их инверсии и повторные инверсии относительно окружностей C_m, а кланы, построенные с применением дисков ?_ijk в качестве затравок, заполняют всю плоскость за исключением кривой ?.

На рис. 253 мы воспользуемся той же цепью Пуанкаре, какую вы уже видели на с. 247, но изобразим ее в более крупном масштабе. Как и в большинстве случаев, первый этап построения обрисовывает кривую ? довольно точно. Последующие этапы весьма «эффективно» добавляют все более мелкие детали, и после нескольких этапов мы уже вполне можем мысленно интерполировать кривую ?, не отвлекаясь на ошибки, от которых, к сожалению, не свободен подход Пуанкаре.