ПРЯМЫЕ, «БЕЗРЕШЕТОЧНЫЕ», ОПРЕДЕЛЕНИЯ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ B(T)

Предыдущие определения броуновского движения основывались либо на временн?й решетке, либо и на временн?й, и на пространственной, однако в окончательном результате эти «подпорки» никак себя не проявляют. Я полагаю, что и при описании этого самого результата вполне возможно обойтись без них.

В прямом описании Башелье [12] постулируется, что на некоторой произвольной последовательности равных приращений времени ?t векторы смещения ?B(t) независимы, изотропны и случайны с гауссовым распределением вероятности. Таким образом,

<?B(t)>=0 и <[?B(t)]²>=|?t|.

Следовательно, среднеквадратическое значение ?B равно ?|?t|. Это определение не зависит от системы координат, но проекция вектора смещения ?B(t) на любую ось представляет собой гауссову скалярную случайную переменную с нулевым средним и дисперсией, равной ?|?t|.

Определение, полюбившееся математикам, идет дальше и обходится без разделения времени на равные промежутки. Оно требует изотропии движений между любой парой моментов времени t и t₀>t. Оно требует независимости движения от предыдущего положения точки. Наконец, оно требует, чтобы вектор из точки B(t) в точку B(t₀), деленный на ?|t₀?t|, имел приведенную гауссову плотность распределения для всех t и t₀.