СФЕРИЧЕСКИЕ ТРЕМЫ И РЕШЕТКИ

Авторы работы [313] невольно сделали значительный вклад во фрактальную геометрию, попытавшись заполнить R^E шарами, радиус каждого из которых имеет вид ?_k=?₀r^k, где r<1; число шаров радиуса ?_k на единицу объема имеет вид n_k=n₀v^k, где v — целое число вида v=(1?r)r^?E, что накладывает жесткие ограничения на r. Таким образом, показатель распределения размеров пустот определяется следующим выражением:

D=lnv/ln(1/r)=E?ln(1?r)/lnr.

Сначала разместим большие сферы радиуса ?₁ в центрах ячеек решетки с шагом 2?₁. Узлы решетки с шагом 2?₂, лежащие вне больших сфер, оказываются достаточно многочисленными, чтобы послужить центрами для сфер меньшего радиуса (?₂) и так далее. Такая конструкция подразумевает следующие верхние границы величины r:

при E=1,r?1/3, при E=2,r?1/10,

при E=3,r?1/27, при E??,r??

Заполнение R³ непересекающимися шарами может занять меньшее время. В случае же одномерной линии максимальное значение r составляет 1/3, что соответствует значению r для троичной канторовой пыли! Существование канторовых пылевидных множеств с r>1/3 указывает на то, что одномерная упаковка может оставлять пустоты произвольно малой размерности. С другой стороны, более тесная упаковка подразумевает более сложную структуру.