3. ВЗВЕШЕННОЕ СТВОРАЖИВАНИЕ БЕЗИКОВИЧА

Для того чтобы в должной мере оценить результаты Безиковича, следует представить их на интервале [0,1] с b=3.

Допущения. Вообразим себе некую массу, распределенную по интервалу [0,1] с единичной плотностью, и поделим ее между третями интервала с помощью неслучайного умножения на три веса W₀, W₁ и W₂, удовлетворяющих следующим условиям:

А. ?W₀+?W₁+?W₂=1. Это соотношение показывает, что масса сохраняется, и что каждый вес W_iограничен значением b. Величину ?W_i, которая представляет собой массу i - й трети, мы обозначим через ?_i.

Б. Равномерное распределение W_i?? исключено.

В. W₀W₁W₂>0. Это соотношение, в частности, исключает из рассмотрения канторов случай (W₀=?, W₁=0 и W₂=?).

Последующие этапы каскада строятся аналогичным образом; например, плотность вещества в субвихрях имеет следующие значения: W₀², W₀W₁, W₀W₂, W₁W₀, W₁², W₁W₂ W₂W₀, W₂W₁, W₂².

Заключения. Итерируя до бесконечности, получаем следующие результаты (б?льшей их части мы обязаны Безиковичу и Эгглстону; отличное изложение этих результатов имеется в книге Биллингсли [34]):

А. Сингулярность. Фрактал Безиковича. Почти во всех точках плотность асимптотически приближается к нулю. Множество точек, в которых асимптотическая плотность не равна нулю (собственно, в этих точках она бесконечна), называется фракталом Безиковича В. Он представляет собой множество точек интервала [0,1], троичное разложение которых таково, что отношение

k^?1 (количество i в первых k «цифрах»)

сходится ?_i. Такие точки образуют открытое множество: предел последовательности этих точек не обязательно должен принадлежать множеству.

Б. Нелакунарность. Предельное распределение массы является всюду плотным: не существует такого открытого интервала (сколько угодно малого), который был бы (пусть даже асимптотически) совершенно пуст. На интервале от 0 до t масса строго возрастает вместе с t. Хотя относительное количество точек, в которых ?^Wне сходится к нулю, очень мало, абсолютного их количества вполне достаточно для того, чтобы масса, заключенная внутри любого интервала [t',t"], имела ненулевой предел при k??.

В. Размерность Хаусдорфа – Безиковича множества B. Эта размерность равна

D=?(?₁ln?₁+?₂ln?₂+?₃ln?₃).

Формально величина D является «энтропией», как она определена в термодинамике, или «информации»», как ее определяет Шеннон (см. [34]).

Г. Размерность подобия множества B. Эта размерность равна единице. В самом деле, множество B самоподобно с N=3 и r=?, следовательно, D_S=ln3/ln3=1; причина введения индекса S вскоре разъяснится. Аналогичным образом, размерность трехмерных вариантов B равна 3. В данном примере величина D_S не может иметь большого физического смысла: во-первых, она не зависит от весов W_i, если те отвечают вышеприведенным условиям; во-вторых, если заменить множество B его канторовым пределом, то ее значение скачкообразно изменяется с 1 на ln2/ln3.

Кроме того, фрактальное однородное распределение больше не может основываться на самоподобии. В самом деле, если соотнести с каждым участком длиной 3^?k один и тот же вес, в результате мы получим однородное распределение на интервале [0,1]. Оно никак не связано со значениями весов W_i и отлично от меры, с помощью которой генерировалось само множество. К тому же, при переходе к канторову пределу это однородное распределение разрывно переходит в распределение весьма неоднородное.

Д. Размерность подобия «множества концентрации» множества B. Эта размерность равна D. Дело в том, что мера Безиковича довольно точно аппроксимируется фрактально однородной мерой, размерность подобия которой равна размерности Хаусдорфа – Безиковича D . Точнее говоря, после некоторого большого количества k этапов каскада б?льшая часть первоначально однородной массы оказывается сосредоточенной в 3^kD троичных интервалов с длиной 3^?k. Распределение этих интервалов в [0,1] неоднородно, однако длина самой большой пустоты стремится при k?? к нулю.

Комментарий. Следует различать «полное множество», которое должно включать в себя всю массу, и «частное множество», в котором сосредоточена б?льшая часть массы. Оба множества самоподобны, однако их размерности самоподобия D_S и D различны. См. также подраздел 5 данного раздела.