МНОЖЕСТВО ℒ В НЕФУКСОВЫХ ЦЕПЯХ ПУАНКАРЕ

Самоинверсные фракталы, получаемые при инверсиях относительно не столь особых конфигураций порождающих окружностей C_m, оказываются более сложными, чем любая аполлониева сеть. Чуть позже я познакомлю вас со своей собственной рабочей конструкцией, которая в большинстве случаев вполне удовлетворительно характеризует множество ?. Она является большим шагом вперед по сравнению с предыдущим, предложенным Пуанкаре и Клейном, методом, который весьма громоздок и очень медленно сходится.

Однако старый метод также сохраняет свою значимость, поэтому я предлагаю рассмотреть его на примере особого случая. Пусть окружности C_m образуют конфигурацию, которую можно назвать цепью Пуанкаре; эта конфигурация представляет собой совокупность M окружностей C_m, расположенных по кругу и соответственно пронумерованных, так что окружность C_m касательна к C_m?1 и C_m+1 (по модулю M) и не пересекает никаких других окружностей цепи. В этом случае множество ? представляет собой кривую, которая разделяет плоскость на две области – внешнюю и внутреннюю. (Воздавая должное Камилю Жордану, который первым обнаружил неочевидность того, что плоскость можно таким образом разделить одной-единственной петлей, такие петли называются с тех пор кривыми Жордана.)

В случае, когда все окружности C_m ортогональны одной окружности ?, множество ? совпадает с ?. Этот случай, называемый фуксовым, в настоящей главе не рассматривается.

Построение Пуанкаре для множества ?. Ниже приводится полное описание общепринятого построения множества ? и моего альтернативного варианта для случая особой цепи с M=4, показанной на следующем рисунке.

Для получения ? Пуанкаре и Клейн (см. [154]) поэтапно заменяют исходную цепь цепями, составляемыми из все возрастающего числа все уменьшающихся звеньев. На первом этапе каждое звено C_i заменяется инверсиями остальных звеньев C_m относительно C_i; таким образом, получается, в общей сложности, M(M?1)=12 меньших звеньев. Они показаны на рисунке справа вверху на фоне негативного изображения исходных звеньев. И так далее – на каждом этапе мы берем полученную на предыдущем этапе цепь и инвертируем ее относительно каждого из исходных звеньев C_m. На рисунке черным цветом показано несколько последовательных этапов построения, причем каждый из них наложен на результат предыдущего этапа, показанный белым цветом на сером фоне. В конце концов, цепь истончается в нить, т. е. в ?.

К сожалению, некоторые звенья и после достаточно большого количества этапов остаются довольно крупными, и даже сильно продвинутые аппроксимации предельной цепи дают довольно слабое представление о множестве ?. Это неприятное свойство прекрасно иллюстрирует рисунок 255.