5. ФОРМА УСТОЙЧИВЫХ ПО ЛЕВИ ПЛОТНОСТЕЙ

Если не считать трех исключений (D=2 с ?=0, D=1 с ?=0 и D=1/2 с ?=1), нам не известны устойчивые по Леви распределения в замкнутой аналитической форме, однако свойства этих простых исключений можно обобщить и на другие случаи.

Во всех крайних асимметричных случаях с 0<D<1 плотность при x<0 обращается в нуль.

В результате обобщения того факта, что гауссова плотность равна exp(?1/2x²), мы имеем небольшой хвост крайних асимметричных случаев с 1<D<2. Плотность здесь ?exp(?c|x|^D/(D?1)).

При x?? плотность Коши ??^?1x^?D?1, а плотность возвращений броуновской функции ?(2?)^??x^?D?1. В общем виде, при любом D?2 плотность в длинном хвосте (или хвостах) ?x^?D?1.

В иных случаях поведение плотности ?(u) приходится находить численно. В [335] приведены графики для крайнего асимметричного случая, в [336] к ним добавлены примечания относительно очень близких к 2 значений D, а в [341] – графики для симметричного случая. Методы быстрого преобразования Фурье значительно облегчают эту задачу, см. [120, 121].