Универсальность и хаос: z→λ(z−1/z) и другие отображения

С. Латте, современник Фату и Жюлиа, выделил отношение четвертого порядка полиномов, итерации которых «хаотичны» на всей плоскости, т.е. не притягиваются ни к какому меньшему множеству. Этот пример побуждает нас заняться поисками хаотического поведения в отображениях низшего порядка. Кроме того, в настоящем разделе рассматриваются классы универсальности для формы островов при ? - отображениях.

Отображение z??(z?1/z) и его ? - отображение. В особом случае ?=? функция y=?iz следует правилу y??(y+1/y), которое вытекает также из приложения метода Ньютона к отысканию корней z²?1. Отметим, что можно положить z=ctg?, и выражение (z?1/z) примет вид (cos²??sin²?)/2cos?sin?=ctg2? . Таким образом, запись z?(z?1/z) представляет собой просто-напросто занятный способ записать ??2?. Для рассмотрения других значений ? было построено отображение, аналогичное тем, что представлены на рис. 268 и 269; часть его можно видеть на рис. 12.

Наблюдается очень интересная форма «универсальности»: «молекулы-острова» на рис. 12 принимают в точности ту же форму, что и при квадратичном отображении. То есть иллюстрации 12 и 268 – 269 построены из одинаковых «кирпичей». В открытом диске |?|>1 итерации отображения z??(z?1/z) уходят в бесконечность за исключением точек Z₀, образующих пыль. В белом диске |?+i/2|<1/2 итерации имеют две предельные точки. Когда значение ? приходится на один из «отростков» черной «короны», существует некоторая предельная окружность, диаметр которой больше 2, но не слишком велик. Значения же ?, оказавшиеся внутри короны ? - отображения, дают хаотическое движение.

Вычисление можно упростить следующими допущениями. А) Значение ?, приводящее к очень большой окружности, приходится на внутреннюю область столь малого атома, что его и разыскивать-то не стоит. Б) Все практически значимые малые окружности располагаются «вблизи» точки z=0 . Таким образом, можно предположить, что любая орбита, уходящая «далеко» от точки z=0, хаотична. Это приближение, разумеется, лишено конкретного обоснования, однако получаемое с его помощью ? - отображение состоит из знакомых элементов, и значит, такой метод представляется вполне разумным.

Множества Жюлиа отображения ?(z?1/z). При |?|>1 притягивающей точкой становится бесконечность, а множество Жюлиа представляет собой, как и в главе 19, границу множества z - точек, не уходящих в бесконечность. Пример множества Жюлиа, определенного как граница областей притяжения отображения z??(z?1/z), представлен на рис. 10.

Классы «универсальности» ? - отображения. «Молекулы – острова», характерные для отображения z²??, встречаются и во многих других ? - отображениях, разница будет лишь в том, что в результате каких-то конкретных ограничений может образоваться не совсем типичный «континент».

Кроме того, ? - отображения вида z?z^m?? также дают континент и острова. В этом случае, однако, каждое значение m обуславливает очень характерную форму атомов и молекул – островов.

Когда локальное поведение отображения z?f(z) одинаково во всех критических точках z, где f'(z)=0, форма островов определяется локально. Когда f(z) ведет себя в различных критических точках z по-разному, ? - отображение строится из «универсальных кирпичей более чем одного типа. Мы как раз разыскиваем для этой проблемы что-то вроде «таблицы Менделеева».