ФРАКТАЛЬНАЯ РАЗМЕРНОСТЬ БЕРЕГОВОЙ ЛИНИИ [356]

Изучив работу Ричардсона, я предположил [356], что хотя показатель D не является целым числом, его можно и нужно понимать как размерность — точнее, как фрактальную размерность. Разумеется, я вполне осознавал, что все вышеперечисленные методы измерения L(?) базируются на нестандартных обобщенных определениях размерности, уже применяемых в чистой математике. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии наименьшим числом пятен радиуса ?, используется в [481] для определения размерности покрытия. Определение длины, основанное на покрытии береговой линии лентой шириной 2?, воплощает идею Кантора и Минковского (см. рис. 56), а соответствующей размерностью мы обязаны Булигану. Однако эти два примера лишь намекают на существование многих размерностей (большинство из которых известны лишь немногим специалистам), которые блистают в различных узкоспециализированных областях математики. Некоторые из этих размерностей мы обсудим более подробно в главе 39.

Зачем математикам понадобилось вводить это изобилие различных размерностей? Затем, что в определенных случаях они принимают различные значения. К счастью, с такими случаями вы в этом эссе не встретитесь, поэтому список возможных альтернативных размерностей можно с чистой совестью сократить до двух, о которых я, правда, еще не упоминал. Старейшая и подробнее исследованная размерность из нашего списка восходит еще к Хаусдорфу и служит для определения фрактальной размерности — очень скоро мы ею займемся. Вторая, более простая, размерность называется размерностью подобия: она носит не такой общий характер, как первая размерность, однако оказывается более чем адекватной во многих случаях — ее мы рассмотрим в следующей главе.

Разумеется, я не собираюсь приводить здесь математическое доказательство того, что показатель Ричардсона D является размерностью. Честно говоря, я не представляю, как можно провести такое доказательство в рамках какой бы то ни было естественной науки. Я хочу лишь обратить внимание читателя на тот факт, что понятие длины ставит перед нами концептуальную задачу, а показатель D предоставляет удобное и изящное решение. Теперь, когда фрактальная размерность заняла свое место в изучении береговых линий, вряд мы захотим, из каких бы то ни было особенных соображений, возвращаться к тем временам, когда мы бездумно и наивно полагали D=1. Тому, кто все еще считает D=1, придется теперь постараться, если он пожелает доказать свою правоту.

Следующий шаг — объяснение формы береговых линий и выведение значения D из других, более фундаментальных соображений — я предлагаю отложить до главы 28. На этом этапе достаточно сказать, что в первом приближении D=3/2. Это значение слишком велико, чтобы верно описывать факты, однако его более чем достаточно для того, чтобы мы могли заявить: можно, должно и естественно полагать, что размерность береговой линии превосходит обычное евклидово значение для кривой D=1.