ГЕНЕРАТОР КВАДРАТОВ

Производящая функция f(x) преобразования «перевернутое V», используемая в предыдущих разделах, была выбрана из-за того, что она дает знакомый нам результат. Однако полученная с ее помощью канторова пыль выглядит несколько надуманной. Заменим ее функцией

x?f(x)=?x(1?x),

неожиданное богатство свойств которой было впервые замечено Фату [139]. Сдвинув точку начала координат, изменив масштаб оси x и положив ?=?²/4??/2, можно записать эту функцию в следующем виде:

x?f^*(x)=x²??.

Исходя из соображений удобства, мы будем использовать то f(x), то f^*(x).

Мне представляется уместным назвать функцию f(x) (или f^*(x)) генератором квадратов. Возведение в квадрат является, безусловно, алгебраической операцией, однако здесь оно получает геометрическую интерпретацию, поэтому множества, которые оно оставляет инвариантными, можно называть самоквадратируемыми. Строго говоря, возведение в квадрат заменяет точку абсциссы с координатой x точкой абсциссы с координатой x². Таким образом, самоквадратируемых точек на оси всего три: x=?, x=0 и x=1. Может показаться, что добавление - ? едва ли способно что-либо в этом изменить, однако на самом деле оно открывает множество самых неожиданных возможностей, рассмотрением которых мы и займемся ниже.