Квадрирующие отображения в кватернионах
В главе 19 установлено, что свойства отображения z?z2?? при вещественных значениях z удобнее всего рассматривать как особые случаи этого же отображения при комплексных z и ?, и что итерации при комплексных z порождают неожиданные и весьма интересные картины. Таким образом, представляется естественным воспользоваться для углубления понимания и получения еще более красивых образов дальнейшим обобщением величины z. А Нортон предположил, что следующим наиболее естественным окружением могли бы стать гамильтоновы кватернионы. Введенные в 1847 г., кватернионы хорошо знакомы как математикам, так и физикам, однако до сей поры им доставались лишь второстепенные роли. В контексте же итераций концепция кватернионов оказалась необычайно плодотворной как с математической, так и с эстетической точки зрения – подробный отчет читатель найдет в выходящих вскоре работах, моих и Нортона.
Против кватернионов имеются и возражения. Одно из них, например, заключается в следующем: комплексные числа вводят пространство E=1 в пространство E=2, которое можно представить визуально, в то время как кватернионы связаны с переходом к пространству с E=4, которое визуально представить невозможно. Еще одно возражение: умножение кватернионов не коммутативно, т.е. если z является кватернионом, то отображения z??z(1?z), z?z2??, z??z2?1 и z???z2?1?? различны.
Для иллюстрации топологических взаимосвязей фрактальных репеллеров квадратичного отображения в кватернионах в работе [655] разработаны новые компьютерно – графические методы. Множества всех кватернионов, не уходящих при итерациях в бесконечность, рассматриваются в трехмерных сечениях. Сечения таких множеств комплексной плоскостью являются фрактальными драконами, описанными в главе 19.
Некоммутативность же умножения кватернионов совершенно неожиданно превратилась в большое преимущество. Для объяснения смысла этого преимущества рассмотрим рис. С5. Вопрос: соединяются ли друг с другом в пространстве кватернионов все или хотя бы некоторые темно-желтые области дракона? Ответ: в общем случае, каждый из вариантов записи, z?z2?? или z??z(1?z) (до перехода к кватернионам), вызывает появление совершенно различных связей между темно-желтыми областями. Следовательно, для более конкретного описания топологических взаимосвязей необходимы дополнительные данные.
В качестве менее запутанного примера рассмотрим рисунок, помещенный на с. 655; он представляет собой несколько адаптированный вариант иллюстрации из [655] и изображает простой случай с циклом, равны 4. Каждый большой сегмент дракона, полученный при сечении его комплексной плоскостью, вложен в соответствующий сегмент пространственной фигуры. В данном примере большие пространственные сечения являются почти инвариантными при вращении; они окружены многочисленными нетугими поясами, соединяющими малые сечения дракона. На рис. 8 представлен другой пространственный фрактал, полученный приблизительно таким же способом. У Стейна [662] можно найти еще несколько подобных иллюстраций.