ФРАКТАЛЫ (ОПРЕДЕЛЕНИЕ)
Хотя в главе 3 мы и определили термин фрактал, я все же продолжаю считать, что наша тема представляет собой как раз такой случай, когда лучше всего обойтись совсем без определения (в эссе 1975 г., кстати, никакого определения не было).
Самый простой довод в пользу такого нежелания состоит в том, что настоящее определение, как мы вскоре увидим, исключает из семейства фракталов кое-какие множества, которые нам не хотелось бы терять.
Имеется и иное фундаментальное соображение: мое определение включает размерности D и DT, однако понятие фрактальной структуры является, по всей видимости, более базовым, чем D или DT. По сути, понятия размерностей получили неожиданное новое применение и, как следствие, б?льшую значимость!
Иными словами, должна существовать возможность определить фрактальную структуру как инвариантную под воздействием некоторой соответствующей определенным требованиям совокупности гладких преобразований. Задача эта, однако, едва ли окажется простой. Для того чтобы оценить ее сложность в стандартном контексте, вспомним хотя бы о том, что под некоторые определения комплексного числа попадают и вещественные числа! На данном этапе основной для нас является необходимость провести границу между простыми фрактальными множествами и стандартными множествами евклидовой геометрии. Этой необходимости мое определение отвечает.
Мое очевидное отсутствие энтузиазма в отношении определения фракталов было, несомненно, отмечено (и, надеюсь, правильно понято) многими выдающимися математиками, не обнаружившими такого в эссе 1975 г. Тем не мене, мы вполне можем предпринять кое-какие шаги для уточнения существующего определения.