H>½: ДРОБНЫЕ БРОУНОВСКИЕ СЛЕДЫ

В случае двумерной векторнозначной функции B_H(t) нас будут интересовать движения, направления которых стремятся персистентности во всех масштабах. Персистентность включает в себя достаточно сильное стремление (не подразумевающее, однако, обязательности) избежать самокасаний. А поскольку в настоящем Эссе мы желаем сохранить и самоподобие, допустим, что координатные функции X_H(t) и Y_H(t) представляют собой дробные броуновские функции из прямой в прямую от времени, статистически независимые и характеризующиеся одним параметром H. Таким образом, мы получаем дробный броуновский след из прямой в плоскость (см. рис. 357).

Фрактальная размерность такого следа определяется как D=1/H; ее наименьшее значение D=1/1=1, каким оно, собственно, и должно быть у кривой, а наибольшее - D=1/(?)=2. Последнее значение предполагает, что след функции B_H(t) заполняет плоскость менее «плотно», чем обыкновенный броуновский след. Для того чтобы подтвердить это предположение, рассмотрим по отдельности ограниченный и неограниченный следы.

Влияние параметра H на ограниченные следы носит чисто количественный характер. При H>? (равно как и при H=?) ограниченный броуновский след представляет собой фрактальную сеть, пронизанную бесконечным количеством пустот. Исходя из сильных эвристических соображений, можно предположить, что площадь этих пустот удовлетворяет равенству Pr(U>u)?u^?D/E=u^1/2H.

Кроме того, я экспериментально исследовал границы ограниченных следов с различными D в поисках отклонения от значения 4/3, каковое значение, согласно пояснению к рис. 340, наблюдается в броуновском случае. Никакого сколько-нибудь явного отклонения я не обнаружил!

На неограниченные же следы параметр H оказывает качественное влияние. Если след начинается в точке O в момент времени 0, то известно, что ожидаемое количество его возвращений в малую окрестность точки O бесконечно для броуновской модели; однако при H>? оно становится конечным. Причина заключается в том, что интеграл ₁?^?t^?2Hdt, полученный в предпоследнем разделе главы 25, при H=? расходится, а при H>? сходится. Когда в одном объеме укладывается некоторое конечное число фрактальных сетей, покрытие становится менее лакунарным, однако достичь таким образом плотного покрытия почти наверное невозможно. Количество уложенных в одном объеме решеток мало, если значение параметра H близко к 1, и устремляется к бесконечности при H=?.

Рис. 357 Дробные броуновские следы (размерности D~1,1111 и D~1,4285)

На рисунке слева представлен пример статистически самоподобной фрактальной кривой с размерностью D=1/0,9000~1,1111. Ее координатные функции – независимые дробные броуновские функции с показателем H=0,9000, которым и обусловлено возникновение на Ниле эффекта Иосифа. Того обстоятельства, что H близок к 1, оказывается недостаточно для предотвращения самопересечений, однако оно весьма осложняет им существование, побуждая «тренд» кривой к персистентности в любом направлении, какое он уже избрал. Представляя сложные кривые как наложения друг на друга больших, средних и малых сверток, можно сказать, что в случае высокой персистентности и близости размерности к единице малые свертки едва различимы.

Для рисунка справа мы воспользовались той же компьютерной программой, что и для рисунка слева, изменив лишь размерность D (теперь она равна D=1/0,7000~1,4285). Псевдослучайная затравка не изменилась, поэтому общая форма линии остается узнаваемой. Однако увеличение D приводит к росту относительной значимости малых сверток, а также – до некоторой степени – и средних. Становятся отчетливо видны ранее невидимые детали.