ОБОБЩЕНИЯ

Цепи из пяти и более звеньев. В случае, когда число исходных звеньев в цепи Пуанкаре превышает четыре, мой новый способ построения множества ? включает в себя дополнительный шаг: сначала следует разделить окружности ? на две группы. Дело в том, что некоторые из окружностей ? в этом случае таковы, что каждый из ограниченных ими открытых дисков содержит, по меньшей мере, одну точку ?_mn, в результате чего диск ?_ijk оказывается, не определен. Такие окружности ? не оскулируют кривую ?, а пересекают ее. Однако для построения кривой они нам не нужны.

Остальные окружности ?_ijk определяют оскулирующие диски ?_ijk, которые в свою очередь, также делятся на два класса. При добавлении к диску ?_ijk первого класса его кланов мы получим внутреннюю область кривой ?; проделав же такую операцию с диском, принадлежащим ко второму классу, получим внешнюю область ?.

Это верно для многих (но не для всех) случаев, когда окружности C_m не образуют цепь Пуанкаре.

Перекрывающиеся и/или/ разорванные цепи. В случае, когда окружности C_m и C_n имеют две точки пересечения ?'_mn и ?"_mn, эти точки совместно заменяют точку ?. Если же окружности C_m и C_n не имеют ни одной точки пересечения, ? заменяется двумя взаимно инверсными точками ?'_mn и ?"_mn. Критерий идентификации ?_ijk становится при этом довольно громоздким, однако основная идея остается неизменной.

Разветвленные самоинверсные фракталы. Кривая ? может соединять в себе характерные особенности как смятой петли (кривой Жордана), так и аполлониевой сети, в результате чего мы получаем фрактально разветвленную кривую, близкую к тем, что мы рассматривали в главе 14, но часто гораздо более причудливого вида (см., например, рис. С7).

Самоинверсные пыли. Множество ? может также оказаться фрактальной пылью.