А БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ВСЕГО ЛИШЬ САМОАФФИННА

Что же касается графиков функций X(t) и Y(t), а также векторной функции B(t), то они являются не самоподобными, а всего лишь самоаффинными. То есть участок кривой от t=0 до t=4 можно покрыть M=4 его уменьшенными копиями только при условии, что вдоль оси (осей) пространственных координат уменьшение по-прежнему происходит с коэффициентом подобия r=1/2, а временн?я координата при этом уменьшается с другим коэффициентом r²=1/M. Следовательно, размерность подобия для графиков функций X(t), Y(t) и B(t) не определена.

Более того, аффинные пространства таковы, что расстояния вдоль оси t и расстояния вдоль осей X(t) и Y(t) нельзя сравнивать друг с другом, а это означает, что диски определить невозможно. В результате соотношение M(R)?R^D не имеет в случае броуновских функций аналога, который мог бы послужить для определения размерности D.

С другой стороны, к ним применимо определение Хаусдорфа – Безиковича. Это вполне согласуется с высказанным в главах 5 и 6 утверждение о том, что определение размерности Хаусдорфа – Безиковича представляет собой наиболее общий – и наиболее громоздкий! – способ интуитивного постижения содержания понятия фрактальной размерности. Значение D для функции X(t) равно 3/2, а для функции B(t) D=2.

Набросок доказательства. На протяжении временн?го промежутка ?t значение разности maxX(t)?minX(t) есть величина порядка ??t. Для покрытия этого подграфика функции X(t) квадратами со стороной ?t потребуется порядка 1/??t квадратов. Следовательно, для покрытия графика на интервале от t=0 до t=1 потребуется порядка (?t)^?3/2 квадратов. А поскольку это число равно также (?t)^?D (см. главу 5), можно эвристически заключить, что D=3/2.