1. БРОУНОВСКАЯ ФУНКЦИЯ ИЗ ПРЯМОЙ В ПРЯМУЮ

Этим термином обозначается классическое обыкновенное броуновское движение, иначе называемое функцией Винера, функцией Башелье или функцией Башелье – Винера – Леви. Приводимое ниже громоздкое определение позволяет легко классифицировать различные обобщения такой функции.

Допущения. А) Временн?я переменная t есть вещественное число. Б) Пространственная переменная x есть вещественное число. В) Параметр H равен 1/2. Г) Вероятность Pr(X<x) задается функцией ошибок erf(x), которая представляет собой распределение приведенной гауссовой случайной величины с <X>=0 и <X²>=1.

Определение. Броуновская функция из прямой в прямую B(t) есть случайная функция, такая, что при любых t и ?t верно следующее:

Pr([B(t+?t)?B(t)]/|?t|^H<x)=erf(x)

Белый гауссов шум. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Это означает, что производная B'(t) не существует в виде обыкновенной функции, а представляет собой обобщенную функцию (распределение Шварца). Называется эта производная белым гауссовым шумом. Можно записать функцию B(t) как интеграл B'(t).

Самоаффинность. Понятие распределения вероятностей применимо не только к случайным величинам, но и к случайным функциям. Если положить B(0)=0, то распределение вероятностей нормированной функции t^?B(ht) не зависит от t. Такая масштабная инвариантность является проявлением самоаффинности.

Спектр. С точки зрения спектрального или гармонического анализа, спектральная плотность функции B(t) пропорциональна f^?1?2H, т.е. f^?2. Однако смысл спектральной плотности f^?2 требует особого рассмотрения, так как функция B(t) нестационарна, а обычная теория ковариантности и спектра Винера – Хинчина имеет дело со стационарными функциями. Поэтому о спектрах мы поговорим позже – в разделе, посвященном функции Вейерштрасса.

Недиффернцируемость. Функция B(t) непрерывна, но не дифференцируема. Рассмотрение недифференцируемости я также предлагаю отложить до раздела функция Вейерштрасса.

Литература. Труды Леви [304] и [306] отличаются очень характерным стилем и загадочным изяществом, что уже создало им определенную репутацию в научных кругах (см. главу 40). Однако по глубине интуиции и простоте изложения им и сейчас нет равных.

Появившиеся в последнее время деловитые работы, рассчитанные исключительно на нужды отдельных и весьма разнообразных групп математиков, ученых и инженеров, слишком многочисленны, чтобы их здесь перечислять, однако хотелось бы отметить весьма многообещающую монографию Найта [270]. (К сожалению, автор предпочел не включать в книгу «результатов по хаусдорфовой размерности или мере выборочных траекторий, какими бы изящными они ни были, так как для них, судя по всему, не находится никаких областей приложения [1], и … [они] не представляются насущно необходимыми для общего понимания непосредственно прикладного материала. С другой стороны, надо признать, что такие особенности, как недифференцируемость выборочных траекторий в любой их точке, и в самом деле дают определенное представление об иррегулярности этих траекторий».)