19. КАНТОРОВА ПЫЛЬ И ПЫЛЬ ФАТУ. САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ ДРАКОНЫ

В этой главе мы рассмотрим два семейства очень простых нелинейных преобразований (или отображений) и исследуем несколько таких фрактальных множеств, которые при этих преобразованиях остаются инвариантными и для которых они могут служить генераторами.

Во-первых, дробно-линейное преобразование вещественной линии поможет нам лучше понять нашу старую знакомую – канторову пыль. Эти замечания, конечно, можно было вставить в главу 8, однако мне кажется, что они будут лучше восприняты на данном этапе.

Они, в частности, помогают оценить результаты вещественных и комплексных квадратичных преобразований вида x?f^*(x)=x²??, где x и ? вещественны, и z?f^*(z)=z²??, где z=x+iy и ? - комплексные числа.

Элементарный случай ?=0 довольно скучен с геометрической точки зрения, однако другие значения ? ведут к потрясающим фрактальным красотам, многие из которых были впервые продемонстрированы в статье [398].

Удобнее всего получать упомянутые инвариантные формы с помощью итераций (т. е. многократных применений) одного из вышеуказанных преобразований. Исходные значения мы будем обозначать через x₀ или z₀, а результаты k- й итерации функции f^* - через x_k или z_k.

Хронологически изучение итераций можно разделить на три этапа. Первый, связанный с комплексной переменной z, прошел под знаменами Пьера Фату (1878 – 1929) и Гастона Жюлиа (1893 – 1978). Их публикации являются шедеврами классического комплексного анализа, ими восхищаются математики, однако на их фундаменте чрезвычайно сложно что-нибудь построить. В своей работе, о которой данная глава дает лишь весьма сжатое представление, я стараюсь придать б?льшую наглядность их основным открытиям, объединяя анализ с физикой и подробными иллюстрациями, в результате чего обнаруживается великое множество неизвестных ранее фактов.

Последовавшее за этими открытиями возрождение помогло установить тесную связь свойств итераций с теорией фракталов. Из того факта, что находки Фату и Жюлиа оказались недостаточно проработаны для того, чтобы стать основой теории фракталов, мы можем сделать вывод, что даже классический анализ нуждается иногда в наглядности и интуитивной понятности, причем компьютерное моделирование может оказать ему в этом смысле серьезную помощь.

Следующий, промежуточный, этап включает в себя исследования Мирбергом итераций вещественных квадратичных отображений ? (см., например, [440], а также труды Штейна и Улама [538] и Бролина [55]).

На текущем этапе исследователи, по б?льшей части, игнорируют прошлое и сосредоточивают свои усилия на отображениях интервала [0,1] в себя (за подробностями рекомендую обратиться к обзорам [180], [209], [83], [144] и [219]). В последнем разделе главы рассматривается показатель ? по [179] и [142]: доказывается, что существование ? следует из более явного свойства итераций в комплексной плоскости (т. е. их фрактальности).