РАЗМЕРНОСТИ D В ИНТЕРВАЛЕ ОТ 0 ДО 1

Множество, полученное в результате бесконечных интерполяции и экстраполяции, самоподобно, а его размерность

D=lnN/ln(1/r)=ln2/ln3~0,6309

представляет собой дробь в интервале от 0 до 1.

Изменяя правила створаживания, мы можем получить другие значения D — собственно, любое значение между 0 и 1. При длине тремы первого этапа 1?2r, где 0<r<1/2, имеем размерность ln2/ln(1/r).

При N?2 становится доступным еще большее разнообразие. Для множеств c N=3 и r=1/5 находим

D=ln3/ln5~0,6826.

Для множеств c N=2 и r=1/4 —

D=ln2/ln4=1/2.

Для множеств c N=3 и r=1/9 получаем тот же результат:

D=ln3/ln9=1/2.

Хотя размерности двух последних множеств равны, «выглядят» они очень по-разному. Об этом наблюдении мы будем подробнее говорить в главе 34, где оно приведет нас к концепции лакунарности.

Обратите внимание также на то, что для любого D<1 есть по крайней мере одно канторово множество, однако поскольку Nr?1 и, как следствие, N?1/r, нет ни одного множества, размерность D которого превышала бы 1.