ПОЛЕТ КОШИ И D=1

Воспользуемся для представления процесса субординации наглядным примером. Если исходной кривой является броуновский след с размерностью D=2, то для получения размерности D=1 нам необходимо найти способ понизить D на единицу. Имея дело с классическими фигурами евклидовой геометрии, добиться такого понижения очень легко. В случае плоскости достаточно взять ее сечение прямой, в случае З – пространства – его сечение плоскостью, а в случае 4 – пространства - его сечение 3 – пространством. Из главы 23 нам известно, что то же правило годится и для случайных фрактальных творогов, а из главы 25 – что размерность броуновской функции из прямой в прямую равна 3/2, в то время как размерность ее нуль – множества и всех сечений, не перпендикулярных оси t, равна ?.

Расширив этот метод вычитания 1 из D по формальной аналогии, можно заподозрить, что должным образом выбранные сечения броуновского следа должны, как правило, имеет размерность 2?1=1. Это подозрение и в самом деле подтверждается (см. [148], с. 348). Более того, можно и нужно расширить упомянутый метод на плоские сечения следа в обычном 3 – пространстве и на трехмерные сечения следа в 4 – пространстве (обозначим его измерения через x, y, z и «юмор»).

Возьмем в качестве исходного броуновский след из прямой в 4 - пространство и рассмотрим точки, координата «юмор» которых равна 0. Можно представить, что эти «серьезные» точки порождаются в том порядке, в каком они посещаются соответствующим броуновским движением, и что расстояния между этими посещаемыми точками независимы и изотропны. Следовательно, серьезные точки можно рассматривать как промежуточные остановки случайного полета, правила построения которого существенно отличаются от правил построения броуновского движения. Такое блуждание мы будем называть движением (или полетом) Коши. При заданных моментах времени 0 и t плотность вероятности вектора из точки ?(0) в точку ?(t) представляет собой число, кратное значению выражения

t^?E[1+|?(t)??(0)|²t^?2]^?E/2.

Формальное допущение D=1 подтверждается в работах С. Дж. Тейлора [561, 562]. Полет Коши проиллюстрирован на одном из видов рис. 414.