9. БРОУНОВСКИЕ ФУНКЦИИ ИЗ ПРОСТРАНСТВА В ПРЯМУЮ

Леви (см. [306, 307, 308, 309, 410]) вводит понятие броуновских функций из пространства ? в вещественную прямую, где ? представляет собой либо обычное пространство ?^E (расстояние |PP₀| определяется как отрезок прямой), либо сферу в пространстве ?^E+1 (расстояние определяется вдоль геодезических линий), либо гильбертово пространство. Для каждой из соответствующих броуновских функций значений разности B(P)?B(P₀) является гауссовой случайной величиной с нулевым средним и дисперсией G(PP₀|), где G(x)=x. Рекомендую также обратить внимание на статьи [421] и [70].

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда ? - сфера. В этом случае функция B(P) строится, как описано в главе 28: на поверхность сферы накладывается слой белого гауссова шума, а функция B(P) определяется как интеграл этого белого шума по поверхности полусферы, северный полюс которой совпадает с точкой P . Вообще-то, я предпочитаю несколько иной вариант, в котором берется половина интеграла по одной полусфере, а затем вычитается половина интеграла по другой полусфере. Такая процедура позволяет обобщить второй процесс, описанный в подразделе 4.

Представление броуновской функции в виде белого гауссова шума, когда ???^E [79]. Этот случай требует более сложного алгоритма (алгоритм был предложен Ченцовым). Наиболее наглядное представление об этом алгоритме можно получить, когда пространство ? есть ?², и B(0,0)=0. Построим вспомогательный цилиндр единичного радиуса с координатами u и ? и наложим на него слой белого шума. Далее (в модифицированном мною [379] варианте алгоритма) проинтегрируем этот шум по прямоугольнику от ? до ?+d? и от 0 до u. Получим броуновскую функцию из прямой в прямую, которая обращается в нуль при u=0; обозначим ее через B(u,?,d?). Для каждой точки (x,y) плоскости броуновские составляющие B(xcos?+ysin?,?,d?) статистически независимы, а их интеграл по ? равен B(x,y).