КРИТИЧЕСКИЕ ПЕРКОЛЯЦИОННЫЕ КЛАСТЕРЫ

Вернемся снова к природе, вернее, к образу природы, описываемому статистической физикой. Я полагаю, что при изучении перколяции сквозь решетки нам просто не обойтись без кого-нибудь из родственников салфетки Серпинского. В главе 13, открывающей рассмотрение данного прецедента, утверждалось, что перколяционные кластеры фрактальны. Теперь я пойду дальше и скажу, что разветвленная структура салфетки Серпинского представляет собой весьма многообещающую модель структуры магистралей кластеров.

Физики оценят эту модель главным образом по тому факту, что она работает, и работает быстро: в статье [166] показано, что с помощью такой модели можно выполнять обычные вычисления точно. Подробности слишком специальны для того, чтобы войти в настоящее эссе, а вот причины, благодаря которым я пришел к этим выводам, могут оказаться интересными. Впервые я задумался об этом, когда заметил сходство между салфеткой Серпинского и магистралями кластеров, показанными на следующем рисунке:

Наиболее явная причина заключена в тремах, оставшихся пустыми после удаления болтающихся связей (образовавшихся после сокращения кластера до магистрали) и кластеров, целиком содержащихся внутри заинтересовавшего меня кластера. Вторая причина: в главе 13 мы показали, что самоподобие является в высшей степени желательным свойством для геометрической модели перколяционного кластера, а ветвление салфетки Серпинского как раз самоподобно. И наконец, размерности этих двух структур настолько близки, что это едва ли может быть простым совпадением! Согласно оценке С. Киркпатрика, плоский кластер имеет размерность D~1,6 — поразительно близко к размерности D салфетки Серпинского! Размерность же пространственного кластера D~2,0 почти совпадает с фрактальной размерностью асимметричной паутины на рис. 207. Кроме того, в [166] показано, что идентичность размерности D магистрали и размерности обобщенной салфетки сохраняется и в R⁴. Еще один аргумент в пользу «салфеточной» модели мы представим несколько позже в виде последнего приложения ветвления.