РАЗМЕРНОСТЬ D СЕЧЕНИЙ СЛУЧАЙНЫХ ТВОРОГОВ

Для доказательства применимости этого фундаментального правила к фрактальному творогу рассмотрим следы (квадраты и интервалы), оставляемые вихрями и субвихрями каскада створаживания на поверхности либо на краю исходного вихря со стороной L. На каждом этапе каскада каждый участок предтворога замещается некоторым количеством меньших участков, причем количество это определяется процессом рождения и гибели. Обозначим количество «отпрысков» m - го поколения, расположенных вдоль края исходного вихря, через N₁(m). Классические выводы, уже использованные ранее в этой главе, показывают, что величина N₁(m) не оставляет нам богатого выбора. Если <N₁>=Nr²?1 (т.е. D?2), то можно быть почти уверенным, что семейство, в конце концов, вымирает, иными словами край вихря становится пустым, а размерность его, как следствие, равной нулю. Если же <N₁>>1 (т.е. D>2), то генеалогическая линия каждого края имеет, напротив, ненулевую вероятность продолжиться на бесконечное число поколений. Размерность подобия в этом случае равна D?2 согласно следующему почти всегда верному соотношению:

.

К двумерным следам вихрей применимы те же рассуждения, только нужно заменить величину N₁ на некоторую случайную величину N₂ - такую, что <N₂>=Nr. Если <N₂>?1 (т.е. D?1), то поверхность каждого вихря становится, в конце концов, пустой. Если же <N₂>>1 (т.е. D>1), то размерность подобия равна D?1 согласно следующему почти верному соотношению:

.

При ограниченном створаживании результаты остаются такими же.

Тождественность поведения фрактальной и евклидовой размерности при пересечении подтверждается и следующим наблюдением: при пересечении нескольких створоженных фракталов, носителем которых является одна и та же решетка, а размерности равны, соответственно, D_m, выполняется равенство E?D=?(E?D_m).