ПЛАВАЮЩАЯ ВЕЛИЧИНА lnN/ln(1/r)

?Хотя канторовы пылевидные множества положительной меры площади или объема не имеют размерности подобия, представляется полезным записать равенство r_k=(1??_k)/2 и рассмотреть формальные размерности, определяемые как D_k=lnN/ln(1/r_k).

В своем медленном изменении размерность D_k воплощает идею об эффективной размерности, рассмотренную в главе 3 при описании спутанной в шар нити. На прямой размерность D=1 предельного множества C_* представляет собой предел отношения ln2/ln(1/r_k). Более того, заключение D=1 не требует непременной справедливости неравенства ??_k<?, а удовлетворяется выполнением более слабого условия ?_k?0. Как следствие, мы имеем три класса линейных канторовых пылевидных множеств: а) с размерностью 0<D<1 и нулевой длиной; б) с размерностью D=1 и нулевой длиной, и, наконец, в) с размерностью D=1 и положительной длиной.

Случай, подобный последнему (в), может произойти и с кривыми Коха. Для этого достаточно изменять генератор на каждом этапе построения и позволить его размерности D устремиться к 2. Возьмем, например, r_k=k/2 и присвоим N_k (а значит и D_k) максимальное значение, о котором мы говорили в пояснении к рис. 83. Предельная кривая в этом случае обладает весьма примечательным сочетанием свойств: ее фрактальная размерность D=2 нестандартна для кривой, однако ее топологическая размерность (D_T=0) и площадь, которая обращается в нуль, являются стандартными.

Та же комбинация свойств характерна и для броуновского движения (см. главу 25), только здесь она достигается при избежании двойных точек.

Формальная размерность может дрейфовать не только в сторону значения D=2, но и прочь от него. Например, k этапов построения заполняющего плоскость дерева могут завершиться этапами с размерностью D<2. Результат такого построения бывает полезен при моделировании определенных речных бассейнов, которые в масштабах, превышающих внутренний порог ?, выглядят как заполняющие плоскость, но в областях меньшего масштаба орошают почву не столь эффективно. Значение ? очень велико в пустынях и очень мало (вплоть до 0) во влажных джунглях. Эффективная размерность таких рек составит D=2 для масштабов, больших ?, и D<2 для масштабов, меньших ?.>