ФУНКЦИЯ ВЕЙЕРШТРАССА И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ ФУНКЦИИ. УЛЬТРАФИОЛЕТОВАЯ И ИНФРАКРАСНАЯ КАТАСТРОФЫ

Комплексная функция Вейерштрасса имеет вид

,

где b>1 - некоторое вещественное число, а w записывается либо как w=b^?H(0<H<1), либо как w=b^D?2(1<D<2). Вещественная и мнимая части функции W₀(t) называются, соответственно, косинусоидой и синусоидой Вейерштрасса.

Функция W₀(t) непрерывна, но нигде не дифференцируема. Однако ее формальное обобщение на случай D<1 и непрерывно, и дифференцируемо.

Кроме самой функции W₀(t) в настоящем разделе рассматриваются некоторые ее варианты; необходимость в их представлении обусловлена тем новым смыслом, который придала функции Вейерштрасса теория фракталов.

Частотный спектр функции W₀(t). Термин «спектр», на мой взгляд, перегружен значениями. Под частотным спектром понимается множество допустимых значений частоты f безотносительно к амплитудам соответствующих составляющих.

Частотный спектр периодической функции представляет собой последовательность положительных целых чисел. Частотный спектр броуновской функции – это ?⁺. Частотный же спектр функции Вейерштрасса есть дискретная последовательность bⁿ от n=1 до n=?.

Энергетический спектр функции W₀(t). Под энергетическим спектром понимается множество допустимых значений частоты fвместе со значениями энергии (квадратами амплитуд) соответствующих составляющих. На каждое значение частоты вида f=bⁿ в функции W₀(t) имеется спектральная линия энергии вида (1?w²)^?1w²ⁿ. Следовательно, суммарное значение энергии на частотах f?bⁿ сходится и пропорционально w²ⁿ=b^?2nH=f^?2H.

Сравнение с дробным броуновским движением. Суммарная энергия пропорциональна f^?2H еще в нескольких рассмотренных нами ранее случаях: а) дробные периодические случайные функции Фурье – Броуна – Винера, допустимые частоты для которых имеют вид f=n, а соответствующие коэффициенты Фурье равны n^H??; б) случайные процессы с непрерывной спектральной плотностью совокупности, пропорциональной 2Hf^?2H?1. Последние процессы суть не что иное, как дробные броуновские функции B_H(t), описанные в главе 27. Например, при H=? можно обнаружить кумулятивный спектр функции Вейерштрасса (f^?1) в обыкновенном броуновском движении, спектральная плотность которого пропорциональна f^?2. Существенное различие: броуновский спектр абсолютно непрерывен, тогда как спектры функций Фурье – Броуна - Винера и Вейерштрасса дискретны.

Недифференцируемость. Для доказательства отсутствия у функции W₀(t) конечной производной при любом значении t Вейерштрассу пришлось объединить два следующих условия: а) b - нечетное целое число, вследствие чего функция W₀(t) представляет собой ряд Фурье, и б) log_b(1+3?/2)<D<2. Необходимые и достаточные условия (b>1 и 1<D<2) взяты нами из статьи Харди [194] .

Расходимость энергии. Привычному к спектрам физику условия Харди представляются очевидными. Применяя эмпирическое правило, гласящее, что производная функции вычисляется умножением ее k - го коэффициента Фурье на k, физик находит для формальной производной функции W₀(t), что квадрат амплитуды коэффициента Фурье с k=bⁿ равен (1?w²)^?1w²ⁿb²ⁿ . Так как совокупная энергия на частотах, больших bⁿ, бесконечна, физику становится ясно, что производную W'₀(t) определить невозможно.

Интересно отметить, что Риман в поисках примера недифференцируемости пришел к функции , энергия спектра которой на частотах, б?льших f=n², пропорциональна n^?3=f^?2H, где H=?. Таким образом, применяя то же эвристическое рассуждение, можно предположить, что производная R'(t) недифференцируема. Заключение это верно лишь отчасти, поскольку при определенных значениях t производная R'(t) все-таки существует (см. [169, 528]).

Ультрафиолетовая расходимость / катастрофа. Термин «катастрофа» появился в физике в первом десятилетии ХХ века, когда Рэлей и Джинс независимо друг от друга разработали теорию излучения абсолютно черного тела, согласно которой энергия частотного диапазона ширины df в окрестности частоты f пропорциональна f^?4. Это означает, что совокупная энергия спектра на высоких частотах бесконечна – что оказывается весьма катастрофичным для теории. Поскольку источником неприятностей являются частоты, лежащие за ультрафиолетовой частью спектра, явление получило название ультрафиолетовой (УФ) катастрофы.

Всем известно, что Планк построил свою квантовую теорию на руинах, в которые обратила теорию излучения именно УФ – катастрофа.

Историческое отступление. Отметим (хотя я не совсем понимаю, почему никто не сделал этого раньше; во всяком случае, в доступных мне источниках я ничего похожего не обнаружил), что причиной смерти как старой физики (?1900), так и старой математики (?1875) является одна и та же расходимость, подорвавшая их веру в то, что непрерывные функции просто обязаны быть дифференцируемыми. Физики отреагировали простым изменением правил игры, математикам же пришлось научиться жить с недифференцируемыми функциями и их формальными производными. (Последние представляет собой единственный часто применяемый в физике пример обобщенной функции Шварца.)

В поисках масштабно-инвариантного дискретного спектра. Инфракрасная расходимость. Хотя частотный спектр броуновской функции непрерывен, масштабно-инвариантен и существует при f=0, частотный спектр функции Вейерштрасса, соответствующий тому же значению H, дискретен и ограничен снизу значением f=1. Наличие нижней границы обусловлено исключительно тем обстоятельством, что число b у Вейерштрасса изначально было целым, а функция – периодической. Для устранения этого обстоятельства следует, очевидно, позволить n принимать любое значение от ?? до +? . А для того, чтобы энергетический спектр стал масштабно-инвариантным, достаточно сопоставить каждой частотной компоненте bⁿ амплитуду wⁿ.

К сожалению, получаемый в результате ряд расходится, и повинны в этом низкочастотные компоненты. Такой дефект называется инфракрасной (ИК) расходимостью (или «катастрофой»). Как бы то ни было, с этой расходимостью приходится мириться, поскольку иначе нижняя граница f=1 вступает в противоречие с самоподобием, присущим энергетическому спектру f^?2H.

Модифицированная функция Вейерштрасса, самоаффинная относительно фокального времени t=0 . Самая простая процедура, позволяющая продолжить частотный спектр f^?2H функции Вейерштрасса до значения f=0 и избежать при этом катастрофических последствий, состоит из двух этапов: сначала получаем выражение W₀(0)?W₀(t), и лишь затем позволяем n принимать любое значение от ?? до +?. Добавочные члены, соответствующие значениям n<0, при 0<H<1 сходятся, а их сумма непрерывна и дифференцируема. Модифицированная таким образом функция

по-прежнему является непрерывной, но нигде не дифференцируемой.

Вдобавок, она масштабно - инвариантна в том смысле, что

=w^?m[W₁(t)?W₀(0)].

Таким образом, функция =w^?m[W₁(b^mt)?W₀(0)] не зависит от m. Можно сказать иначе: при r=b^m функция r^?H[W₁(rt)?W₀(0)] не зависит от h . То есть функция W₁(r)?W₀(0), ее вещественная и мнимая части самоаффинны относительно значений r вида b^?m и фокального времени t=0.

Гауссовы случайные функции с обобщенным спектром Вейерштрасса. Следующим шагом на пути к реализму и широкой применимости является рандомизация обобщенной функции Вейерштрасса. Простейший и наиболее естественный метод заключается в умножении ее коэффициентов Фурье на независимые комплексные гауссовы случайные величины с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией. Вещественная и мнимая части получаемой в результате функции могут с полным правом называться функциями Вейерштрасса – Гаусса (модифицированными). В некоторых смыслах эти функции можно считать приближенными дробными броуновскими функциями. Когда значения H совпадают, их спектры настолько похожи, насколько позволяет то обстоятельство, что один из этих спектров непрерывен, а другой дискретен. Более того, к функциям Вейерштрасса – Гаусса применимы результаты Орея [457] и Маркуса [412] (см. с. 490), а фрактальные размерности их множеств уровня совпадают с фрактальными размерностями множеств уровня дробных броуновских функций.

Фрактальные свойства. Согласно теореме, доказанной в работах [317] и [30] (см. раздел эвристика липшица – Гёльдера), фрактальная размерность графика функции с некоторым показателем H, удовлетворяющей при всех x условию Липшица, находится в интервале от 1 до 2?H . Известно, что в случае броуновской функции с тем же кумулятивным спектром f^?2H размерность принимает наибольшее возможное значений 2?H=D. Я предполагаю, что то же верно и для кривой Вейерштрасса. А размерность ее нуль – множества равна 1?H.

Нуль - множества родственных функций. Функции Радемахера представляет собой «ступенчатые» варианты синусоид вида sin(2?bⁿt), где b=2. Когда синус положителен (отрицателен, обращается в нуль), значение функции Радемахера равно 1 (соответственно, ?1 и 0) (см. [616], I, с. 202). Естественным обобщением функции Вейерштрасса является ряд, n - й член которого представляет собой произведение wⁿ на n - ю функцию Радемахера. Эта обобщенная функция разрывна, однако ее спектральный показатель по-прежнему равен 2H. Учитывая прецедент в лице дробного броуновского движения, можно предположить, что размерность нуль – множеств функции Вейерштрасса – Радемахера окажется равной 1?H. Это предположение находит подтверждение в [31], однако только для целочисленных 1/H.

Сингх [526] упоминает о многих других вариантах функции Вейерштрасса. Размерность D нуль – множеств некоторых из них легко поддается оценке. Вообще, эта тема явно заслуживает более подробного исследования с учетом достижений современной теоретической мысли.