АЛЬТЕРНАТИВНЫЕ РЕШЕТКИ И СКВИГ – КРИВЫЕ

Используя другие интерполированные решетки, можно получить сквиг – кривые иного вида. Во всех случаях, когда для идентификации предсквиг – кривой (k+1) - го порядка достаточно знать, в каких интервалах она пересекает границу между двумя ячейками k - го порядка возможно непосредственное обобщение. В качестве примера можно привести прямоугольную решетку, в которой отношение длинной стороны ячейки к короткой имеет вид ?b, и каждая ячейка интерполируется в b ячеек, расположенных поперек исходной ячейки.

Иначе обстоит дело с треугольными решетками, ячейки которых интерполируются в b²?9 треугольников, или с квадратными решетками, где ячейки интерполируются в b²?4 квадратов. В обоих случаях интерполяция предсквиг – кривых требует дополнительных шагов.

При b=3 (треугольная решетка) или b=2 (квадратная решетка) достаточно одного дополнительного шага – вполне, впрочем, естественного. В самом деле, представьте себе четыре «луча», исходящего из центра квадрата и разделяющих его на четыре части (либо шесть лучей, разделяющих треугольник на девять частей). Как только мы оставляем свободным один из этих лучей, поддолина оказывается полностью определена. Согласно моему описанию сквиг – кривых, луч, который следует оставить свободным, выбирается случайным образом, причем каждый из вариантов равновероятен. Размерности при этом принимают следующие значения: D~1,3347 (для треугольников, разделенных на девять частей) и D~1,2886 (для квадратов, разделенных на четыре части). Учитывая, что для простейших сквиг – кривых D~1,3219, можно заключить, что все сквиг – кривые характеризуются приблизительно одинаковой размерностью D, значение которой находится в окрестности 4/3.

В тех случаях, когда ячейка разделяется на b² частей, где b>3 (для треугольников) или b>2 (для квадратов), для определения поддолины необходимо вводить различные дополнительные факторы, отчего конструкция приобретает все более произвольный характер. При этом сущность сквиг – построения, понимаемая в свете рассуждений последующего раздела, оказывается потерянной.