РЕКИ И ВОДОРАЗДЕЛЫ

В первом приближении (играющем центральную роль в главе 7) я предположил, что реки и водоразделы образуют сопряженные заполняющие плоскость древовидные фигуры. Вообще говоря, такое описание можно применить только к картам; как только мы вводим высоту, замечательная симметрия между деревьями рек и водоразделов нарушается. В самом деле, если пренебречь озерами, то точки, принадлежащие дереву водораздела, всегда являются либо локальными максимумами (холмами), либо локальными седловыми точками (перевалами), тогда как точки дерева реки никогда не бывают ни локальными минимумами, ни седловыми точками. А поскольку в броуновских и дробных броуновских моделях локальные минимумы безусловно присутствуют, можно с полной уверенностью сказать, что деревьев рек в них нет, - и это еще один удар по моим броуновским моделям.

После того, как чаши заполнены, рек, как таковых, уже не остается – лишь ветвящиеся цепочки озер (бесконечно мелких), похожие на кактусы с дисковидными ветвями. Что касается водоразделов, то они образуют дерево; я полагаю, что это дерево представляет собой ветвящуюся кривую с размерностью D<2, однако оно может оказаться и кривой с положительной площадью и, как следствие, размерностью D=2. Возможны также и другие, самые различные, варианты, но их лучше приберечь до более подходящего случая.