САМОКВАДРАТИРУЕМЫЕ КРИВЫЕ ЖЮЛИА НА ПЛОСКОСТИ [398]

Положив ?=0, получаем простейшую самоквадратируемую кривую – окружность |z=1|. При преобразовании z?z² кольцо, однократно опоясывающее окружность, растягивается в кольцо, опоясывающее эту же окружность дважды, причем «пряжка» при z=1 остается неподвижной. Соответствующая наибольшая ограниченная самоквадратируемая область – диск |z|<1.

Однако введение вещественного ??0 (см. рис. 264 и 266) или любого комплексного ? (рис. 271 и 270) открывает настоящий ящик Пандоры, доверху набитый бесконечными возможностями, имя которым фрактальные кривые Жюлиа. Они радуют глаз в той степени, в какой дают пищу для ума.

Сепаратор S. Топология наибольшего ограниченного самоквадратируемого множества зависит от того, где расположена точка ? по отношению к открытой мною разветвленной кривой S, которую я теперь называю сепаратором. Сепаратор – это связная граница черной фигуры на рис. 268 (внизу); иначе говоря, это некая «предельная лемниската», т.е. предел при n?? алгебраических кривых, называемых лемнискатами и определяемых выражением |f^*_n(0)|=R, где R есть некоторое большое число. Структура кривой S показана на рис. 269.

Атомы. Открытая область внутри S разбивается на бесконечное множество максимально связных множеств, которые я предлагаю называть «атомами». Границы двух атомов либо совсем не пересекаются, либо имеют одну общую точку (назовем ее «связью»), которая принадлежит S.

Топологическая размерность. Когда точка ? лежит вне области, ограниченной кривой S, наибольшим ограниченным квадратируемым множеством является пыль (пыль Фату). Если же ? находится внутри S или является связью, то таким наибольшим множеством будет область, ограниченная некоторой самоквадратируемой кривой. Из принадлежащих S точек, ? по крайней мере, несколько дают древовидную кривую.

Самоквадратируемые фракталы. Если верить слухам, то фрактальность вышеупомянутых пылей и кривых при ??0 была полностью доказана Денисом Салливеном и для некоторых других случаев, и я ничуть не сомневаюсь, что такое доказательство осуществимо для всех случаев без исключения.

Форма самоквадрируемой пыли или кривой изменяется непрерывно вместе с ?; следовательно, размерность D должна быть гладкой функцией от ?.

Ветвление. Когда ? находится внутри одного из открытых пустых дисков, изображенных на рис. 269 (вверху), самоквадратируемая кривая будет простой замкнутой кривой (петлей без ветвления), как на рис. 264 и 266.

Когда ? принадлежит окружностям |?|=1 или |??2|=1 или лежит в окружающей их открытой связной области, самоквадратируемая кривая имеет вид разветвленной сети с тремами, ограниченными фрактальными петлями, как драконы на рис. 270.

Когда же ? лежит внутри молекул-островов, которые, как мы вскоре покажем, являются областями не стремления к точке (1,0), самоквадратируемая кривая представляет собой либо ?- петлю, либо ? - дракона, как на рис. 271 (внизу). Новой петли ? не вводит.

Рис. 264. Самоквадрируемые фрактальные кривые при вещественном значении ?

Фигуры на рисунках 264 – 273 публикуются впервые (за некоторыми исключениями, использованными мною в [398]).

Слева представлены наибольшие ограниченные самоквадрируемые области при различных значениях ? (а именно, 1,0; 1,5; 2,0; 2,5 и 3,0). Черная фигура в центре охватывает интервал [0,1].