НЕСАМОПОДОБНЫЕ КАСКАДЫ И ОЦЕНКА РАЗМЕРНОСТИ

Круговые треугольники аполлониевой упаковки не подобны друг другу, следовательно, аполлониев каскад не самоподобен, а аполлониева сеть не является масштабно-инвариантным множеством. Сейчас следовало бы обратиться к определению Хаусдорфа – Безиковича для размерности D (как показателя, определяющего меру), которое применимо к любому множеству, однако получение D таким способом оказывается удивительно сложным делом. На данный момент наилучшим результатом (см. работы Бойда [50, 51]) является следующий:

1,300197<D<1,314534,

хотя его же последние (еще не опубликованные) численные эксперименты дают D~1,3058.

В любом случае, поскольку D есть дробное число, а D_T=1, аполлониевы салфетка и сеть являются фрактальными кривыми. В данном контексте величина D представляет собой меру фрагментации. Если, например, «удалить» диски, радиус которых меньше ?, то периметр оставшихся промежутков будет пропорционален ?^1?D, а площадь – пропорциональна ?^2?D.