ПЛОСКИЕ И ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТРЕМЫ

Прежде чем мы приступим к рассмотрению случайных и перекрывающих трем, опишем плоское створаживание на решетке (главы 13 и 14), используя понятие виртуальной тремы. Первый этап каскада заключается в выделении N из b² квадратных ячеек для последующего сохранения их в качестве творогов. Иначе можно сказать, что на первом этапе вырезаются b²?N квадратных трем. На следующем этапе вырезаются квадратные тремы второго порядка в количестве b²(b²?N), включая N(b²?N) истинно новых трем и (b²?N)² «виртуальных» трем (которые и здесь удаляют то, что уже было удалено на предыдущем этапе). И так далее.

Пересчитав истинные и виртуальные тремы, мы обнаружим, что количество трем с площадью, превышающей некоторую величину s, пропорционально 1/s. Аналогичный вывод можно сделать и по отношению к створаживанию в 3 – пространстве: количество трем, объемы которых превышают некоторую величину v, пропорционально 1/v.

Б?льшая часть этой главы (и главы 35) посвящена рассмотрению случая, когда количество независимых трем, сосредоточенные в ячейке со сторонами dx и dy (или dx,dy и dz), представляет собой пуассоновскую случайную величину с ожиданием

<Nr(площадь>a)>=(C/2a)dxdy,

<Nr(объем>v)>=(C/3v)dxdydz.

Соответствующее ожидание в пространстве ?^E равно

(C/Ev)dx₁,...,dx_E.

Фрактальные свойства получаемого в результате трема – множества столь же просты, как и в линейном случае, рассмотренном в главе 31. При C<1 эти свойства можно вывести из свойств линейного множества; в предшествующих же эссе было высказано предположение, что упомянутые свойства остаются в силе при всех C. Это предположение получило подтверждение в работе [132].

При C>E трема – множество почти наверное окажется пустым. При C<E оно представляет собой фрактал с размерностью D=E?C.

Что касается топологии трема – фракталов, то, руководствуясь общими принципами, можно предположить, что трема – множество с размерностью D<1 есть пыль (D_T=0). С другой стороны, при D>1 одних общих принципов недостаточно, и топология определяется формой тремы. Здесь снова возникает задача о перколяции, причем в ином, нежели раньше, фрактальном контексте.