8 ФРАКТАЛЬНЫЕ СОБЫТИЯ И КАНТОРОВА ПЫЛЬ

Основная цель этой главы — по возможности безболезненное — но достаточно подробное — ознакомление читателя с еще одним математическим объектом из тех, что обычно рассматриваются как патологические, — с канторовой пылью, С. Фрактальная размерность канторовой пыли и других родственных ей пыльных структур, которые мы здесь рассмотрим, находится в интервале от 0 до 1.

Так как эти структуры образованы точками на прямой, их сравнительно легко изучать. Кроме того, с их помощью можно в наипростейшей форме представить некоторые понятия, занимающие центральное место в теории фракталов, но настолько редко применявшиеся в прошлом, что для их обозначения даже не было придумано терминов. Начнем с термина «пыль», который теперь приобретает специальный смысл как неформальный эквивалент термина «множество, топологическая размерностьD_T которого равна 0» (так же, как «кривая» и «плоскость» означают множества, топологическая размерность которых равна, соответственно, 1 и 2). Другие новые термины — такие, например, как творог, пауза и трема — будут объяснены ниже.