7 ПОКОРЕНИЕ ЧУДОВИЩНЫХ КРИВЫХ ПЕАНО

Обсуждая в предыдущей главе обобщенные кривые Коха без самопересечений, мы не случайно ограничились значениями D<2. Когда размерность D достигает 2, фрактальные кривые претерпевают значительные качественные изменения.

Будем исходить из предположения, что терагоны не имеют самопересечений, хотя самокасание допускается. В этом случае одним из признаков достижения размерности D=2 можно считать то, что точки самокасания становятся асимптотически неизбежными. Главным же признаком является неизбежность заполнения предельной кривой некоторой «области» плоскости, т. е. некоторого множества, состоящего из дисков (заполненных окружностей).

Это двойственное заключение не является следствием пока еще поправимой нехватки воображения со стороны математиков. Оно проистекает из одного фундаментального принципа, сыгравшего центральную роль в кризисе математики 1875 - 1925 гг.