ФРАКТАЛЬНОЕ СООТНОШЕНИЕ МЕЖДУ ДЛИНОЙ И ПЛОЩАДЬЮ

Для большей наглядности рассмотрим совокупность геометрически подобных островов с фрактальными береговыми линиями размерности D>1. Стандартное отношение (длина)/(площадь)^1/2 в этом контексте стремится к бесконечности, но я намерен показать, что оно имеет достойный фрактальный аналог, вполне пригодный для каких угодно практических целей. Определим длину побережья, измеренную с шагом длины G, как (G-длину), а площадь острова, измеренную в единицах G² — как (G-площадь). Учитывая, что зависимость (G-длины) от G нестандартна, в отличие от стандартной зависимости (G-площади) от G, мы можем записать следующее обобщенное отношение:

(G?длина)^1/D/(G?площадь)^1/2.

Я утверждаю, что значение этого отношения одинаково для любого из наших самоподобных островов.

В результате мы имеем два различных способа оценки линейной протяженности каждого острова в единицах G: стандартное выражение (G?площадь)^1/2 и нестандартное (G?длина)^1/D.

Характерная особенность данного подхода заключается в том, что при смене длины шага с G на G' мы получим другое отношение альтернативных линейных протяженностей:

(G'?длина)^1/D/(G'?площадь)^1/2,

которое отличается от исходного на коэффициент (G'/G)^1/D?1.

Что касается отношения линейных протяженностей, то для каждого семейства взаимно подобных фигур оно имеет свое значение, независимо от того, фрактальные это фигуры или стандартные. Следовательно, это отношение представляет в количественном виде лишь один аспект формы фигуры.

Заметим, что полученное соотношение между длиной и площадью можно применять для оценки размерности фрактальной кривой, ограничивающей стандартную область.

Доказательство соотношения. Первым делом измерим длину каждой береговой линии с помощью внутренней, зависящей от площади, мерки:

G^*=(G?площадь)^1/2/1000.

Если аппроксимировать каждое из побережий наших островов многоугольником с длиной стороны G^*, эти многоугольники также будут взаимно подобны, а их периметры будут пропорциональны стандартным линейным протяженностям (G?площадь)^1/2.

Заменим теперь G^* заданным шагом G'. Из главы 6 нам известно, что измеренная длина при этом изменится в отношении (G/G^*)^1?D. Следовательно:

Наконец, возведя каждую часть в степень 1/D, получаем искомое соотношение.