В ПОИСКАХ БЕСКОНЕЧНОГО КОНТИНЕНТА

В масштабно-инвариантной Вселенной различие между островом и континентом не может основываться на традиции или «относительном размере». Единственный разумный подход состоит в том, чтобы определить континент как особый остров бесконечного диаметра. Ниже я намерен показать, что построения, приведенные в начале главы, практически никогда не генерируют континентов. < Для тех, кто знаком с теорией вероятности: вероятность того, что такое построение даст в итоге континент, равна нулю. ?

При разумном подходе к поискам континента следует отказаться от раздельного выбора инициатора и генератора. С этого момента нам придется использовать один и тот же генератор и для интерполяции, и для экстраполяции. Процесс осуществляется в несколько последовательных этапов, каждый из которых разбивается на шаги. Он очень напоминает экстраполяцию канторова множества в главе 8, однако заслуживает более подробного описания.

Первый шаг укрупняет выбранный нами генератор в отношении 1/r. На втором этапе мы некоторым образом «помечаем» одно из звеньев увеличенного генератора. На третьем — смещаем увеличенный генератор так, чтобы помеченное звено совпало с интервалом [0, 1]. Четвертый и последний этап заключается в интерполяции оставшихся звеньев увеличенного генератора.

Процесс повторяется до бесконечности, причем его течение и результат определяются последовательностью положений «помеченных» звеньев. Эта последовательность может принимать различные формы.

Для получения первой формы берег-генератор должен включать в себя некоторое положительное число N_c?2 «некрайних» звеньев, которые, по определению, принадлежат генератору, но не содержат его концевых точек (0 или 1). Если мы последовательно помечаем некрайние звенья, каждый этап экстраполяции растягивает исходный участок береговой линии и в пределе приводит к включению этого участка во фрактальное побережье бесконечной протяженности в обоих направлениях. Следовательно, построение континентальной береговой линии, исходя из таких начальных условий, вполне возможно.

Вторая форма: всегда помечаем какое-либо из крайних звеньев берег-генератора, причем каждая из двух возможностей выбирается бесконечное количество раз. В этом случае исходный участок побережья также растягивается до бесконечности. Если каждый раз выбирать одно и то же звено, береговая линия будет удлиняться только в одном направлении.

Чтобы получить третью форму, будем всегда помечать звено, принадлежащее остров-генератору. Тогда остров, который до экстраполяции был самым большим, окажется вблизи берегов большего острова; после следующего этапа этот больший остров окажется у берегов еще большего острова, и т. д. до бесконечности. Континента при таком построении мы не получим вовсе.

В следующем замечании мы воспользуемся некоторой толикой «вероятностного здравого смысла», который, должно быть, не чужд ни одному читателю. Предположим, что помечаемое звено выбирается посредством броска N-гранной кости. Для того, чтобы получить при экстраполяции континент, необходимо, по всей видимости, чтобы всякая метка после некоторого конечного (k-ro) этапа попадала на одно из N_c?2 некрайних звеньев берег-генератора. Назовем эти звенья «выигрышными». Чтобы после k этапов иметь уверенность в том, что мы получим в итоге континент, мы должны быть уверены, что каждый последующий бросок нашей кости без единого исключения окажется выигрышным. Такая удача, безусловно, возможна, однако вероятность ее стремится к нулю.