6. ПЕРЕСЕЧЕНИЯ МНОЖЕСТВ (СЛОЖЕНИЕ КОРАЗМЕРНОСТЕЙ)

Эмпирическое правило выглядит следующим образом: если S₁ и S₂ суть независимые множества в E - пространстве, и

коразмерность (S₁)+коразмерность (S₂)<E,

то левая часть этого неравенства почти наверное равна коразмерности S₁?S₂. Если сумма коразмерностей больше E, то размерность пересечения почти наверное равна нулю.

В частности, два множества одинаковой размерности не пересекаются, если D?E/2. Размерность E=2D можно, таким образом, назвать критической.

Примечательно, что два броуновских следа (при том, что размерность броуновского следа D=2) пересекаются при E<4 и совершенно не соприкасаются при E?4.

Правило очевидным образом распространяется и на пересечения более чем двух множеств.

Самопересечения. Множество k - кратных точек S можно рассматривать, как пересечение k реплик S. Напрашивается предположение, что, с точки зрения размерности пересечения, упомянутые k реплик можно считать независимыми. По крайней мере, в одном случае эта догадка оказывается верной. С. Дж. Тейлор в работе [561] исследует следы броуновского движения и движения Леви в ?¹ и ?² (обобщая результаты, полученные Дворжецким, Эрдешем и Какутани). Размерность следа равна D, а размерность множества, состоящего из его k - кратных точек, составляет max[0,E?k(E?D)]. Телор предположил, что этот результат верен в ?^E для всех k вплоть до k=?.