ЛИНЕЙНАЯ ПЫЛЬ ЛЕВИ

К сожалению, множество, полученное перемешиванием пустот усеченной канторовой пыли (и сглаживанием их распределения), также не избавлено от недостатков: а) соответствие формулы данным наблюдения по избыточным шумам все еще не полно; б) ограничение ?>0, возможно, вполне приемлемо для физиков, однако весьма досадно с эстетической точки зрения; в) построение остается неуклюжим и произвольным; и, наконец, г) оно слишком далеко по духу от оригинального построения Кантора.

В [347], воспользовавшись множеством, предложенным Полем Леви, я построил усовершенствованный вариант искомого множества, лишенный недостатков (а) и (б). Позвольте мне назвать такое множество пылью Леви. При заданном значении D пыль Леви является единственным множеством, сочетающим в себе два желаемых свойства. Как и в рандомизированной усеченной канторовой пыли, прошлое и будущее, рассматриваемые из принадлежащей этому множеству точки, независимы друг от друга. Как и канторова пыль, пыль Леви статистически тождественна самой себе при уменьшении с произвольным коэффициентом подобия r в интервале от 0 до 1 – ничем подобным канторова пыль похвастаться не может.

Оказывается, нуль – множество броуновского движения (глава 25) представляет собой пыль Леви с D=?.

К сожалению, метод, использованный Леви при введении своего множества, сохраняет вышеупомянутые недостатки (в) и (г). К тому же, он весьма деликатен в формальном смысле: требуется, чтобы значение uбыло не просто целым числом ?1, но и могло принимать любые положительные вещественные значения с Pr(U>u)=u^?D вплоть до u=0. Так как 0^?D=?, общая «вероятность» также бесконечна. Метод, используемый для устранения этой, по всей видимости, нелепой возможности, весьма важен и интересен, однако никакого отношения к нашей работе не имеет.

К счастью, от этих трудностей легко избавиться, приняв более естественный способ построения «трем», предложенный в [371].