ВОЗМОЖНОСТЬ ПОЛУЧЕНИЯ КАНТОРОВОЙ ПЫЛИ ПОСРЕДСТВОМ НЕЛИНЕЙНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Из главы 8 нам известно, что троичная канторова пыль C инвариантна при преобразовании подобия, если коэффициент подобия имеет вид 3^?k. Это самоподобие является, безусловно, очень важным свойством, однако его недостаточно для определения C. Напротив, мы можем полностью определить множество C как наибольшее ограниченное множество, инвариантное при следующем нелинейном преобразовании («перевернутое V»):

x?f(x)={1/2?|x?1/2|}/r, где r=1/3.

Точнее, мы многократно повторяем это самоотображение вещественной оси, при этом исходное значение x₀ «размазано» по оси x, а окончательные значения сводятся к точке x=?? и канторовой пыли C. Неподвижные точки x=0 и x=3/4 принадлежат C.

Набросок доказательства инвариантности множества C. Поскольку f(x)=3x при x<0, итерации всех точек x₀<0 сходятся к ?? прямо, т.е. всегда справедливо неравенство x_n<0. Для точек x₀>1 прямой сходимости предшествует один предварительный этап, так как x_k<0 для всех k?1. Для точек в пустой области z/3<x₀<2/3 предварительных этапов будет два, так как x₁>0, но x_k<0 для всех k?2. Для точек в пустых областях 1/9<x₀<2/9 или 7/9<x₀<8/9 предварительных этапов будет уже три. В более общем виде это выглядит так: если интервал ограничен пустой областью, которая отправляется в бесконечность после k предварительных этапов, то средняя треть (открытая) этого интервала отправится прямо в ?? после (k+1)- го этапа. Однако ни одна точка множества C не уходит в ??.